A partir de 64 cubos brancos, todos iguais, forma-se um novo cubo. A seguir, este novo cubo tem cinco de suas…

Questão

A partir de 64 cubos brancos, todos iguais, forma-se um novo cubo. A seguir, este novo cubo tem cinco de suas seis faces pintadas de vermelho. O número de cubos menores que tiveram pelo menos duas de suas faces pintadas de vermelho é [FUVEST 2006 - Questão 21] FUVEST - 2006

1. A) 24
2. B) 26
3. C) 28
4. D) 30
5. E) 32

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Os 64 cubos brancos formam um cubo maior de aresta 4 (4 x 4 x 4), pois 4 x 4 x 4 = 64. Cada cubo menor pode ser identificado por coordenadas (x, y, z), com x, y e z variando de 1 a 4.
2. Como uma face do cubo grande não foi pintada, vamos supor que seja a face inferior (z = 1). Assim, estão pintadas as faces x = 1, x = 4, y = 1, y = 4 e z = 4. Um cubo menor tem pelo menos duas faces pintadas quando satisfaz pelo menos duas das três condições: (A) x é 1 ou 4; (B) y é 1 ou 4; (C) z = 4.
3. Note que x é 1 ou 4 em 2 dos 4 valores possíveis (os outros dois, 2 e 3, são internos). O mesmo vale para y. Já z = 4 vale para apenas 1 valor, e z = 1, 2 ou 3 não pintam a face superior.
4. Contamos os casos possíveis:
5. - A, B e C ao mesmo tempo: 2 x 2 x 1 = 4 cubos (os cubos de canto da face superior).
6. - A e B, mas não C: 2 x 2 x 3 = 12 cubos (as arestas verticais, incluindo as da base, que tocam duas faces laterais).
7. - A e C, mas não B: 2 x 2 x 1 = 4 cubos (arestas superiores nas faces x = 1 ou x = 4, com y interno).
8. - B e C, mas não A: 2 x 2 x 1 = 4 cubos (arestas superiores nas faces y = 1 ou y = 4, com x interno).
9. Somando: 4 + 12 + 4 + 4 = 24. Portanto, a resposta é a alternativa A.
10. Por que as outras estão erradas, em uma frase cada: B (26) superestima as arestas; C (28) soma cubos que têm apenas uma face pintada; D (30) inclui cubos internos das faces; E (32) corresponde a supor que todas as seis faces estão pintadas.

💡 Dica: Divida o cubo em uma malha 4 por 4 por 4 e conte os cubos localizados nas arestas entre faces pintadas.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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