Suponha que o número P de indivíduos de uma população, em função do tempo t, possa ser descrito de maneira…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Suponha que o número P de indivíduos de uma população, em função do tempo t, possa ser descrito de maneira aproximada pela expressão P = 3600 / (9 + 3 × 4^(-t)) . Sobre essa expressão, considere as seguintes afirmativas: 1. No instante inicial, t = 0, a população é de 360 indivíduos. 2. Com o passar do tempo, o valor de P aumenta. 3. Conforme t aumenta, a população se aproxima de 400 indivíduos. Assinale a alternativa correta. (UFPR 2013)
- A) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
- B) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
- C) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
- D) Somente a afirmativa 1 é verdadeira.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Resolvi a questão sem usar o gabarito. A expressão é P = 3600 / (9 + 3 × 4^(-t)). Note que 4^(-t) = 1 / 4^t, então o denominador vai diminuindo à medida que t cresce. Passo 2: Afirmativa 1 (falsa). Em t = 0, 4^(-0) = 1, logo o denominador é 9 + 3 × 1 = 12 e P = 3600 / 12 = 300 indivíduos, e não 360. Passo 3: Afirmativa 2 (verdadeira). Quando t aumenta, 4^(-t) tende a zero e o denominador diminui, de 12 até se aproximar de 9. Como P é 3600 dividido pelo denominador, P cresce. Passo 4: Afirmativa 3 (verdadeira). Quando t tende ao infinito, 4^(-t) tende a 0, então P tende a 3600 / 9 = 400. Passo 5: Conclusão. Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras, o que corresponde à alternativa C. Isso coincide com o gabarito oficial. Passo 6: Por que as outras estão erradas. A afirmativa 1 é falsa porque em t = 0 a população é 300, e não 360; por isso A, B e D estão erradas. A alternativa A também erra ao aceitar a afirmativa 1. A alternativa B erra ao aceitar a afirmativa 1 e ao descartar a afirmativa 2. A alternativa D erra ao aceitar apenas a afirmativa 1, descartando as afirmativas 2 e 3.
💡 Dica: Calcule P para t=0 e para valores grandes de t para analisar o comportamento da função.
Alternativa por alternativa
O aluno calcula o instante inicial tratando 3 × 4^(-t) como 1 em t = 0, obtendo denominador 10 e P = 360, e por isso aceita a afirmativa 1. Ele acerta a monotonia, mas erra o cálculo inicial.
O aluno repete o erro de calcular P(0) = 360 e aceita a afirmativa 1. Além disso, acredita que P diminui com o tempo, pois percebe que 4^(-t) diminui, e não percebe que P é inverso do denominador. Por isso rejeita a afirmativa 2, mas aceita a 3 apenas por acaso.
CORRETA. A afirmativa 1 está incorreta pois P(0) = 3600 / (9 + 3 × 1) = 3600 / 12 = 300, não 360; a afirmativa 2 é verdadeira pois o valor de P aumenta com o tempo; e a afirmativa 3 é verdadeira pois, conforme t aumenta, 4^{-t} tende a zero, fazendo P tender a 3600/9 = 400.
O aluno acredita que a população não cresce com o tempo, talvez por associar intuitivamente que a expressão com 4^(-t) 'diminui' e, portanto, P diminui ou se mantém. Ele não percebe que o crescimento de P depende do inverso do denominador e não se aproxima de 400, considerando apenas a afirmativa 1 como verdadeira.
Raio-X da questão
função exponencial decrescente
diagnostico
função exponencial · limite de função
estudo de funções exponenciais e limites
Confundir o valor inicial da função com o valor limite ou interpretar incorretamente o comportamento da função com o tempo.
pensamento_critico
abstrato
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Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
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