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Ambientalistas, após estudos sobre o impacto que possa vir a causar à população de certa espécie de pássaros…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT304

Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como o da Matemática Financeira, entre outros.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Ambientalistas, após estudos sobre o impacto que possa vir a causar à população de certa espécie de pássaros pela construção de um grande conjunto de edifícios residenciais próximo ao sopé da Serra do Japi, em Jundiaí, SP, concluíram que a quantidade de tais pássaros, naquela região, em função do tempo, pode ser expressa, aproximadamente, pela função P(t) = P0 / (4 - 3.(2^t)), onde t representa o tempo, em anos, e P0 a população de pássaros na data de início da construção do conjunto. Baseado nessas informações, pode-se afirmar que: UNESP - 2011

A) após 1 ano do início da construção do conjunto, P(t) estará reduzida a 30% de P0.
B) após 1 ano do início da construção do conjunto, P(t) será reduzida de 30% de P0.
C) após 2 anos do início da construção do conjunto, P(t) estará reduzida a 40% de P0.
D) após 2 anos do início da construção do conjunto, P(t) será reduzida de 40% de P0.
E) P(t) não será inferior a 25% de P0.

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

Observe que a expressão do enunciado, escrita como 2^t, daria valores negativos para t = 1 (denominador 4 - 6 = -2), o que não faz sentido para uma população. A leitura coerente é P(t) = P0 / (4 - 3 . 2^(-t)), com expoente negativo, que é o que resolve a questão. Resolvemos com essa leitura. Passo 2: Verifique t = 0: 2^0 = 1, denominador 4 - 3 = 1, logo P(0) = P0, que é a população inicial. Passo 3: Calcule t = 1: 2^(-1) = 1/2, denominador 4 - 1,5 = 2,5, logo P(1) = P0/2,5 = 0,4 P0, ou seja, 40% de P0 restam (a população cai 60%). Passo 4: Calcule t = 2: 2^(-2) = 1/4, denominador 4 - 0,75 = 3,25, logo P(2) = P0/3,25, aproximadamente 0,31 P0 (cerca de 31% de P0). Passo 5: Analise o limite. Quando t cresce, 2^(-t) tende a zero, o denominador tende a 4 e P(t) tende a P0/4 = 25% de P0. Como o denominador é sempre menor que 4 e positivo para t real não negativo, P(t) fica sempre acima de 0,25 P0 e nunca cai abaixo dele. Passo 6: Por isso a alternativa E é a correta, e ela coincide com o gabarito oficial. Passo 7: A alternativa A está errada, pois após 1 ano restam 40% de P0, não 30%. A alternativa B está errada, pois após 1 ano a redução é de 60%, não de 30%. A alternativa C está errada, pois após 2 anos restam cerca de 31% de P0, não 40%. A alternativa D está errada, pois após 2 anos a redução é de cerca de 69%, não de 40%.

💡 Dica: Calcule P(t) para t=1 e t=2 e compare com as porcentagens dadas.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Procedimentala que mais engana

O aluno provavelmente calculou mal o denominador em t = 1 ou confundiu a população restante com um percentual arredondado. Ele associa o resultado a 30% sem refazer a conta 4 - 3 . 2^(-1) = 2,5.

Por que engana: Confundir a operação de potência ou interpretar incorretamente a função, levando a erro no cálculo da população.

B Erradaerro: Interpretação

O aluno provavelmente confundiu a fração restante com a redução, ou calculou a redução como 30% sem subtrair de 100%. O correto é que após 1 ano restam 40% de P0, ou seja, a redução é de 60%.

C Erradaerro: Procedimental

O aluno provavelmente errou o cálculo de 2^(-2) ou do denominador para t = 2, obtendo 40% em vez de cerca de 31%. Pode também ter tomado o valor de t = 1 como se fosse o de t = 2.

D Erradaerro: Interpretação

O aluno provavelmente tomou a porcentagem restante como redução, ou seja, confundiu o que resta com o que foi perdido. Após 2 anos a redução real é de cerca de 69%, não 40%.

E Correta

Correta. Para encontrar o menor valor de P(t), analisamos quando o denominador atinge seu valor máximo negativo, o que ocorre quando t cresce muito. Para t grande, 2^t cresce rápido, então o denominador 4 - 3 . 2^t tende a -∞, fazendo P(t) tender a zero negativamente. Mas, como valores negativos não têm sentido, o valor relevante é imediatamente antes de o denominador passar por zero, ou seja, para t = 0: P(0) = P0 / (4 - 3 . 1) = P0 / 1 = P0, e no limite t próximo de 1 (mas menor), o menor valor positivo acontece quando (4 - 3 . 2^t) se aproxima de 0 por valores positivos. O menor valor positivo é P0/4, ou seja, 25% de P0. Portanto, nunca será inferior a 25% de P0.

Raio-X da questão

Dificuldade Média

Bloom Analisar

Leitura medio

Discriminação medio

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade unica

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 consolidacao

🎯 Conceito central

função exponencial decrescente

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

função exponencial · porcentagem e proporção

📚 Reveja

estudo de funções exponenciais e interpretação de porcentagens

⚠️ Erro mais comum

Confundir a operação de potência ou interpretar incorretamente a função, levando a erro no cálculo da população.

🤝 Socioemocional

tomada_decisao

🏫 Contexto

cotidiano

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