Em estudos realizados numa área de proteção ambiental, biólogos constataram que o número N de indivíduos de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em estudos realizados numa área de proteção ambiental, biólogos constataram que o número N de indivíduos de certa espécie primata está crescendo em função do tempo t (dado em anos), segundo a expressão N(t) = 600 / (5 + 3 × 2^(-0,1t)). Supondo que o instante t = 0 corresponda ao início desse estudo e que essa expressão continue sendo válida com o passar dos anos, considere as seguintes afirmativas: 1. O número de primatas dessa espécie presentes na reserva no início do estudo era de 75 indivíduos. 2. Vinte anos após o início desse estudo, o número de primatas dessa espécie será superior a 110 indivíduos. 3. A população dessa espécie nunca ultrapassará 120 indivíduos. Assinale a alternativa correta. (UFPR 2009)
- A) Somente a afirmativa 1 é verdadeira.
- B) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
- C) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
- D) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Calcule N(0). Como 2^(-0,1*0) = 2^0 = 1, temos N(0) = 600/(5+3) = 600/8 = 75. Logo a afirmativa 1 é verdadeira. Passo 2: Calcule N(20). Como 2^(-0,1*20) = 2^(-2) = 1/4, temos N(20) = 600/(5 + 3/4) = 600/5,75, que é aproximadamente 104,3. Como 104,3 é menor que 110, a afirmativa 2 é falsa. Passo 3: Analise o comportamento de N(t) para t grande. Como 2^(-0,1t) é sempre positivo e tende a zero quando t cresce, o denominador 5 + 3*2^(-0,1t) é sempre maior que 5 e tende a 5. Logo N(t) é sempre menor que 600/5 = 120 e tende a 120. Assim a população nunca atinge nem ultrapassa 120, e a afirmativa 3 é verdadeira. Passo 4: Conclusão. As afirmativas verdadeiras são 1 e 3, e a falsa é a 2. A alternativa correta é a C, que coincide com o gabarito oficial. Passo 5: Por que as outras estão erradas. A afirma que a 3 é falsa, o que não ocorre. B inclui a 2, que é falsa. D inclui a 2, que é falsa, e exclui a 1, que é verdadeira.
💡 Dica: Calcule N(t) para t=0 e t=20 e analise o limite da função.
Alternativa por alternativa
Acredita que, como N(t) tende a 120, a população acabará alcançando ou ultrapassando 120, confundindo valor-limite assintótico com valor atingido.
Calcula N(20) de forma errada, provavelmente tratando 2^(-2) incorretamente, e conclui que a população supera 110 indivíduos.
CORRETA. A afirmativa 1 é verdadeira pois N(0) = 600 / (5 + 3 × 2^0) = 600 / (5 + 3) = 600 / 8 = 75; a afirmativa 3 é verdadeira porque o limite da função quando t tende ao infinito é 600 / 5 = 120, então a população nunca ultrapassa 120; a afirmativa 2 é falsa pois N(20) = 600 / (5 + 3 × 2^{-2}) = 600 / (5 + 3 × 0,25) = 600 / (5 + 0,75) = 600 / 5,75 ≈ 104,35, que é menor que 110.
Interpreta 2^0 como 0 e obtém N(0) = 600/5 = 120 como população inicial, o que o leva a considerar a afirmativa 1 falsa e a afirmativa 2 verdadeira.
Raio-X da questão
função exponencial, crescimento populacional
avaliacao
função exponencial · limite de função
funções exponenciais e limites
Erro ao calcular potências negativas ou interpretar o limite da função, levando a respostas incorretas sobre o crescimento da população.
pensamento_critico
cientifico
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