Sabendo que a aresta do cubo ao lado mede 6 cm, considere as seguintes afirmativas: 1. A área do triângulo ACD…

Questão

Sabendo que a aresta do cubo ao lado mede 6 cm, considere as seguintes afirmativas: 1. A área do triângulo ACD é 9 cm². 2. O volume da pirâmide ABCD é 1/6 do volume do cubo. 3. A altura do triângulo ABC relativa a qualquer um dos lados mede 3v2 cm. Assinale a alternativa correta. (UFPR 2009)

1. A) Somente a afirmativa 1 é verdadeira.
2. B) Somente a afirmativa 2 é verdadeira.
3. C) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
4. D) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Os vértices A, B, C e D são vértices do cubo. Pelo gabarito, ABC é uma face do cubo, com ângulo reto em B e catetos AB = BC = 6 cm, e D é o vértice vizinho de B fora dessa face, com BD = 6 cm perpendicular ao plano de ABC. Pelo Teorema de Pitágoras, a diagonal de uma face mede raiz de (6² + 6²) = 6 raiz de 2 cm. Passo 2: Afirmativa 1. Os lados AC, CD e AD são diagonais de faces do cubo, e todos medem 6 raiz de 2 cm. Logo ACD é equilátero de lado 6 raiz de 2. Sua área é (lado² raiz de 3)/4 = 72 raiz de 3 / 4 = 18 raiz de 3, cerca de 31,2 cm². Como a área não é 9 cm², a afirmativa 1 é falsa. Passo 3: Afirmativa 2. A área de ABC é 6·6/2 = 18 cm². O volume da pirâmide ABCD é (1/3)·18·6 = 36 cm³. O volume do cubo é 6³ = 216 cm³, e 36/216 = 1/6. A afirmativa 2 é verdadeira. Passo 4: Afirmativa 3. No triângulo retângulo ABC, a altura relativa à hipotenusa AC é (6·6)/(6 raiz de 2) = 3 raiz de 2 cm. Porém, a altura relativa a um cateto (AB ou BC) é o outro cateto, que mede 6 cm. Como a afirmativa diz 'qualquer um dos lados', ela é falsa. Passo 5: Conclusão. Só a afirmativa 2 é verdadeira, e a resposta é a alternativa B. Em A, a afirmativa 1 é aceita como verdadeira, mas ela é falsa. Em C, a afirmativa 1 também é aceita como verdadeira, e o erro é o mesmo. Em D, a afirmativa 1 é aceita por engano e a afirmativa 3 é tomada como válida, quando só vale para a altura relativa à hipotenusa.

💡 Dica: Calcule áreas, volumes e alturas usando fórmulas geométricas do cubo e triângulos.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

Questões parecidas com resolução

• Uma pirâmide quadrangular regular de base ABCD tem todas as arestas congruentes. Sobre suas faces laterais, um ponto…
• O tetraedro ABCD tem altura AD e base ABC inscrita em um círculo de diâmetro AB, conforme mostra a ilustração. Sabe-se…
• Observe na imagem uma pirâmide de base quadrada, seccionada por dois planos paralelos à base, um contendo o ponto A e o…
• Todas as faces de um cubo sólido de aresta 9 cm foram pintadas de verde. Em seguida, por meio de cortes paralelos a cada…
• Observe as afirmações sobre dois sólidos geométricos. I. Um prisma quadrangular tem 8 vértices. II. Uma pirâmide…
• A medida da altura de uma pirâmide é 10 m e sua base é um triângulo retângulo isósceles cuja medida da hipotenusa é 6 m…