Observe na imagem uma pirâmide de base quadrada, seccionada por dois planos paralelos à base, um contendo o…

Questão

Observe na imagem uma pirâmide de base quadrada, seccionada por dois planos paralelos à base, um contendo o ponto A e o outro o ponto B. Esses planos dividem cada aresta lateral em três partes iguais. Considere as seguintes medidas da pirâmide: - altura = 9 cm; - aresta da base = 6 cm; - volume total = 108 cm³. O volume da região compreendida entre os planos paralelos, em cm³, é: (UERJ 2019)

1. A) 26
2. B) 24
3. C) 28
4. D) 30

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. A base da pirâmide é um quadrado de lado 6 cm, então a área da base é 36 cm². Confirmando o volume total: (1/3) x 36 x 9 = 108 cm³, que coincide com o dado do enunciado. Passo 2: Os dois planos são paralelos à base e dividem cada aresta lateral em três partes iguais. Assim, a partir do vértice, os planos ficam a 3 cm e a 6 cm dele (um terço e dois terços da altura de 9 cm). Passo 3: Pela semelhança de triângulos, a seção à distância d do vértice tem lado proporcional a d/9 da base. Para d = 3, o lado é 6 x 3/9 = 2 cm e a área é 4 cm². Para d = 6, o lado é 6 x 6/9 = 4 cm e a área é 16 cm². Passo 4: O volume da pirâmide pequena, acima do plano mais próximo do vértice, é a razão de semelhança ao cubo vezes o volume total: (1/3)^3 x 108 = 4 cm³. O volume da pirâmide até o plano mais distante é (2/3)^3 x 108 = 32 cm³. Passo 5: A região entre os planos é a diferença: 32 - 4 = 28 cm³. Conferindo pela fórmula do tronco de pirâmide, com altura 3, bases 16 e 4: (3/3) x (16 + 4 + raiz de 16 x 4) = 16 + 4 + 8 = 28 cm³. Passo 6: Por que as outras estão erradas: a alternativa A (26) resulta de um erro de cálculo ao montar a diferença de volumes; a alternativa B (24) decorre de tratar a raiz de 16 x 4 como 4 em vez de 8; a alternativa D (30) vem de usar a média aritmética das áreas da base vezes a altura, como se a região fosse um prisma.

💡 Dica: Use a semelhança de triângulos para determinar as medidas dos volumes parciais.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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