Uma pirâmide quadrangular regular de base ABCD tem todas as arestas congruentes. Sobre suas faces laterais, um…

Questão

Uma pirâmide quadrangular regular de base ABCD tem todas as arestas congruentes. Sobre suas faces laterais, um ponto material se desloca do vértice A da base ao vértice oposto C, percorrendo o menor caminho possível, no caso AFC, que mede 2v3 cm, conforme representado na figura. Calcule a medida da altura dessa pirâmide. Calcule a medida da altura dessa pirâmide. (UERJ 2026)

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Sabemos que a menor distância entre dois pontos no plano é a medida do segmento de reta com extremos nesses pontos. Então, para calcular a medida do menor caminho AFC, sobre a superfície da pirâmide ABCDE, devemos colocar as faces ABE e BCE no mesmo plano, conforme a figura a seguir. O quadrilátero ABCE é um losango. Como as diagonais de um losango cortam-se ao meio e são perpendiculares, temos um triângulo retângulo AFB, cujo cateto \overline{AF} = \sqrt{3} cm. Como ABE é um triângulo equilátero, ABE = 60° e sen (\widehat{ABE}) = \frac{\overline{AF}}{\overline{AB}} Sabendo que sen60° = \frac{\sqrt{3}}{2} temos: \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{\overline{AB}} = \overline{AB} = 2 cm Observe a figura a seguir. A altura de uma pirâmide regular intersecta o polígono da base em seu centro. O centro do quadrado encontra-se na interseção de suas diagonais. \overline{AH} =\overline{BH} = x Pelo teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo AHB, temos: x^2 + x^2 = 2^2 \rightarrow 2x^2 = 4 \rightarrow x = \sqrt{2} Para calcular a altura EH dessa pirâmide, aplicamos o teorema de Pitágoras no triângulo AHE: \overline{EH}^2 + \sqrt{2}^2=2^2 \rightarrow \overline{EH}^2 = 2 \rightarrow \overline{EH} = \sqrt{2} cm

Explicação

Utilize a congruência das arestas para determinar as medidas da base e das faces, aplique o teorema de Pitágoras no triângulo formado pelo caminho AFC para encontrar a altura da pirâmide.

Raio-X da questão

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