A linha de produção de uma fábrica produz milhares de peças por dia e apresenta, em média, quatro peças…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
A linha de produção de uma fábrica produz milhares de peças por dia e apresenta, em média, quatro peças defeituosas a cada cem peças produzidas. Um inspetor de qualidade sorteia cinco peças de modo aleatório e verifica a quantidade de peças defeituosas. De acordo com as informações acima, considere as seguintes afirmativas: 1. A probabilidade de o inspetor encontrar no máximo uma peça defeituosa é (0,04^0 × 0,96^5) + (5 × 0,04^1 × 0,96^4). 2. A probabilidade de o inspetor encontrar pelo menos uma peça defeituosa é 1 - (0,04^0 × 0,96^5). 3. É impossível o inspetor encontrar 5 peças defeituosas. Assinale a alternativa correta. (UFPR 2009)
- A) Somente a afirmativa 1 é verdadeira.
- B) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
- C) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
- D) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Identifique o modelo. Cada peça é defeituosa com probabilidade p = 0,04 e não defeituosa com probabilidade 0,96. Como o número de peças é pequeno (5) em relação à produção diária de milhares, tratamos as extrações como independentes, modelo binomial com n = 5 e p = 0,04. A probabilidade de exatamente k defeituosas é C(5,k) × 0,04^k × 0,96^(5-k). Passo 2: Analise a afirmativa 1. 'No máximo uma defeituosa' significa X = 0 ou X = 1. P(X = 0) = 0,04^0 × 0,96^5 e P(X = 1) = 5 × 0,04^1 × 0,96^4. A soma é exatamente a expressão dada, então a afirmativa 1 é verdadeira. Passo 3: Analise a afirmativa 2. 'Pelo menos uma defeituosa' é o evento complementar de 'nenhuma defeituosa', cuja probabilidade é 0,04^0 × 0,96^5. Logo, P(X >= 1) = 1 - 0,04^0 × 0,96^5, e a afirmativa 2 é verdadeira. Passo 4: Analise a afirmativa 3. Que o evento é muito improvável não significa que seja impossível. P(X = 5) = C(5,5) × 0,04^5 × 0,96^0 = 0,04^5, que é pequeno, mas maior que zero. Portanto a afirmativa 3 é falsa. Passo 5: Conclua. Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras, o que corresponde à alternativa B, que coincide com o gabarito oficial. A alternativa A está errada porque a afirmativa 2 também é verdadeira. A alternativa C está errada porque a afirmativa 1 é verdadeira e a afirmativa 3 é falsa. A alternativa D está errada porque a afirmativa 3 é falsa e a afirmativa 2 é verdadeira.
💡 Dica: Use a fórmula da probabilidade binomial para calcular cada caso.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente acerta a afirmativa 1, mas rejeita a afirmativa 2, achando que 'pelo menos uma' deve ser calculado diretamente como 0,04^0 × 0,96^5, sem perceber que essa expressão é a probabilidade de nenhuma defeituosa, cujo complemento é o evento pedido.
CORRETA. A afirmativa 1 apresenta corretamente a soma das probabilidades de encontrar zero ou uma peça defeituosa usando a fórmula da distribuição binomial. A afirmativa 2 está correta ao afirmar que a probabilidade de encontrar pelo menos uma peça defeituosa é o complemento da probabilidade de não encontrar nenhuma. A afirmativa 3 é falsa, pois não é impossível encontrar 5 peças defeituosas, apenas muito improvável.
O aluno interpreta 'pouco provável' como 'impossível' na afirmativa 3 e, por isso, considera verdadeira a afirmativa 3. Além disso, pode rejeitar a afirmativa 1 sem verificar que ela corresponde exatamente à soma P(X = 0) + P(X = 1).
O aluno aceita a afirmativa 3 com base na intuição de que, com uma taxa de 4%, cinco defeituosas seriam impossíveis, sem calcular P(X = 5) = 0,04^5, que é positiva. Também pode descartar a afirmativa 2 por achar que o complementar não se aplica a 'pelo menos'.
Raio-X da questão
probabilidade binomial, peças defeituosas
avaliacao
probabilidade básica · combinatória simples
Estude probabilidade binomial e cálculo de eventos compostos.
Confundir a probabilidade de eventos mutuamente exclusivos e não somar corretamente os casos.
pensamento_critico
cotidiano
Questões parecidas com resolução
- Por que tantos itens aprovados passam despercebidos nos testes de qualidade? Dados ilustrativos: uma linha de produção…
- Uma fábrica tem duas linhas de produção: L1 produz 60% da produção e L2 40%. A taxa de produtos defeituosos é 2% em L1 e…
- Dados ilustrativos: Em um relatório interno de uma fábrica de componentes eletrônicos, o setor de inspeção informou que…
- — O setor de montagem dos smartphones registrou uma taxa de 5% de componentes defeituosos, informou a engenheira de…
- Em um lote de 6 sensores, 2 apresentam defeito e 4 estão em condições de uso. Um técnico seleciona 3 sensores ao acaso…
- Em uma fábrica, 10% das peças produzidas são defeituosas. Um inspetor seleciona duas peças aleatoriamente com reposição…
🔎 Procurar outra questão
Procure no banco do GeraProva pelo tema ou por um trecho do enunciado. Cada questão já vem com resolução comentada e a análise de cada alternativa.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog