Considere a matriz A = [a 2a + 1; a - 1 a + 1], em que a é um número real. Sabendo que A admite inversa A?¹…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
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Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Considere a matriz A = [a 2a + 1; a - 1 a + 1], em que a é um número real. Sabendo que A admite inversa A?¹ cuja primeira coluna é [2a - 1; -1], a soma dos elementos da diagonal principal de A?¹ é igual a [FUVEST 2012 - Questão 64] FUVEST - 2012
- A) 5
- B) 6
- C) 7
- D) 8
- E) 9
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Calcule o determinante de A. det(A) = a(a+1) - (2a+1)(a-1) = a^2 + a - (2a^2 - a - 1) = -a^2 + 2a + 1. Passo 2: Use a fórmula da inversa para 2x2: A^(-1) = (1/det) * [[a+1, -(2a+1)], [-(a-1), a]]. Passo 3: A primeira coluna de A^(-1) é (1/det)*(a+1, -(a-1)), que deve ser igual a (2a-1, -1). Assim, -(a-1)/det = -1, logo det = a-1. Passo 4: Igualando -a^2 + 2a + 1 = a - 1 obtemos a^2 - a - 2 = 0, cujas raízes são a = 2 e a = -1. Passo 5: Na primeira coluna, (a+1)/det = 2a-1. Para a = -1 teríamos det = -2 e a+1 = 0, o que dá 0 = -3, impossível. Para a = 2 temos det = 1 e (a+1)/det = 3 = 2a-1, que confere. Logo a = 2. Passo 6: Com a = 2, A = [[2, 5], [1, 3]], com det = 1, e A^(-1) = [[3, -5], [-1, 2]]. A soma dos elementos da diagonal principal de A^(-1) é 3 + 2 = 5. Passo 7: Conclusão: a alternativa correta é a A, de acordo com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: B (6) não corresponde à soma diagonal obtida com a = 2; C (7) e D (8) também não batem com os elementos reais da inversa; E (9) é valor que não aparece em nenhum cálculo válido.
💡 Dica: Use a definição de matriz inversa e propriedades da matriz para encontrar a soma dos elementos da diagonal principal.
Alternativa por alternativa
Incorreta. Soma incorreta dos elementos.
O aluno provavelmente calcula corretamente a estrutura da inversa, mas erra algum elemento da adjunta ou soma incorretamente os termos da diagonal após encontrar a = 2.
Por que engana: Confundir a soma dos elementos da diagonal principal com a soma dos elementos da matriz original.
O aluno provavelmente erra o determinante ou a ordem dos elementos ao montar a adjunta, o que altera o valor de a ou dos elementos da diagonal da inversa.
O aluno provavelmente usa o valor errado de a, por exemplo aceitando a = -1 da equação do determinante sem testar a condição da primeira coluna, o que leva a uma soma diagonal incorreta.
O aluno provavelmente confunde a diagonal principal com outra diagonal ou soma elementos da matriz A sem inverter corretamente, gerando um valor que não corresponde à inversa.
Raio-X da questão
matriz inversa, diagonal principal
avaliacao
matriz inversa · diagonal principal
Revisar cálculo de matriz inversa e propriedades da diagonal principal.
Confundir a soma dos elementos da diagonal principal com a soma dos elementos da matriz original.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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