MatemáticaUERJBNCC EM13MAT301Difícil⏱ medio

Um modelo de macaco, ferramenta utilizada para levantar carros, consiste em uma estrutura composta por dois…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT301

Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Um modelo de macaco, ferramenta utilizada para levantar carros, consiste em uma estrutura composta por dois triângulos isósceles congruentes, AMN e BMN, e por um parafuso acionado por uma manivela, de modo que o comprimento da base MN possa ser alterado pelo acionamento desse parafuso. Observe a figura: Considere as seguintes medidas: AM = AN = BM = BN = 4 dm; MN = x dm; AB = y dm. O valor, em decímetros, de y em função de x corresponde a: (UERJ 2013)

A) √(16 - 4x²)
B) √(64 - x²)
C) √(16 - 4x²) / 2
D) √(64 - 2x²) / 2

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

Os triângulos AMN e BMN são isósceles e congruentes, com base comum MN. Assim, A e B ficam em lados opostos de MN, e o segmento AB é perpendicular a MN, passando pelo ponto médio dela. Chame de h a altura de um dos triângulos relativa à base MN; então AB = 2h. Passo 2: Como o triângulo AMN é isósceles, a altura relativa à base MN também é mediana, e divide MN em dois segmentos de medida x/2. Passo 3: No triângulo retângulo formado por A, pelo ponto médio de MN e por M, vale o teorema de Pitágoras: AM² = h² + (x/2)², ou seja, 16 = h² + x²/4. Passo 4: Isolando h², obtemos h² = 16 - x²/4 = (64 - x²)/4. Logo h = raiz de (64 - x²) dividida por 2. Passo 5: Como AB = 2h, temos y = raiz de (64 - x²), que é a alternativa B. Passo 6: Verificação: para x = 0, os vértices M e N coincidem e AB = 8 = 2 · 4, o dobro de AM, o que faz sentido. Passo 7: Por que as outras estão erradas: na A, a expressão raiz de (16 - 4x²) daria 4 para x = 0, mas AB deveria ser 8; ela surge de usar a metade da base como 2x e não dobrar a altura. Na C, a raiz de (16 - 4x²) dividida por 2 é igual a raiz de (4 - x²), que não corresponde a AB, pois a altura já foi tratada de forma errada e ainda foi dividida por 2. Na D, a altura correta é raiz de (64 - x²) dividida por 2, mas a alternativa escreve 64 - 2x², um erro na multiplicação por 4 de x²/4, e ainda mantém a divisão por 2 sem duplicar o resultado.

💡 Dica: Use propriedades dos triângulos isósceles e o teorema de Pitágoras para relacionar x e y.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Procedimentala que mais engana

Aplica Pitágoras tomando a metade da base como 2x em vez de x/2, e não multiplica a altura por 2 para obter AB.

Por que engana: Confundir os lados do triângulo ou aplicar incorretamente o teorema de Pitágoras, levando a uma fórmula errada para y em função de x.

B Correta

CORRETA. A alternativa apresenta a expressão correta para y em função de x, obtida aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo formado pela altura e metade da base MN.

C Erradaerro: Procedimental

Calcula uma expressão equivocada para a altura e depois divide por 2, achando que a divisão por 2 corrige o resultado, sem refazer o cálculo de AB como o dobro da altura.

D Erradaerro: Atenção

Acerta em parte a altura, raiz de (64 - x²) dividida por 2, mas erra ao expandir 4(16 - x²/4) como 64 - 2x² e não dobra a altura para obter AB.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação medio

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado depende_imagem

Cobertura da habilidade unica

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 progressao

🎯 Conceito central

triângulos isósceles e Pitágoras

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

teorema de Pitágoras · propriedades triângulos isósceles

📚 Reveja

Estude propriedades de triângulos isósceles e aplicação do teorema de Pitágoras.

⚠️ Erro mais comum

Confundir os lados do triângulo ou aplicar incorretamente o teorema de Pitágoras, levando a uma fórmula errada para y em função de x.

🤝 Socioemocional

tomada_decisao

🏫 Contexto

abstrato

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