Para formar três quadrados de lados iguais a 2 cm, 4 cm e 7 cm, podem ser utilizados exatamente 52 cm de…

Questão

Para formar três quadrados de lados iguais a 2 cm, 4 cm e 7 cm, podem ser utilizados exatamente 52 cm de arame. Desse modo, a soma S de suas áreas será igual a 69 cm². Se as medidas dos lados escolhidos para formar os quadrados forem x, x e y, em centímetros, utilizando-se exatamente 52 cm de arame, a soma S de suas áreas, em cm², será igual a S = 2x² + y². Neste caso, o menor valor possível de S ocorre se x for igual a: (UERJ 2027)

1. A) 13/3
2. B) 13/2
3. C) 11/3
4. D) 11/2

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Cada quadrado tem perímetro igual a 4 vezes o seu lado. Com dois quadrados de lado x e um de lado y, o arame total é 4x + 4x + 4y = 52 cm. Passo 2: Dividindo por 4, obtemos 2x + y = 13, ou seja, y = 13 - 2x. Passo 3: Substituindo y na expressão da soma das áreas, S = 2x² + (13 - 2x)² = 2x² + 169 - 52x + 4x² = 6x² - 52x + 169. Passo 4: Como o coeficiente de x² é positivo (6), a parábola tem concavidade para cima e o menor valor de S ocorre no vértice, em x = -b/(2a) = 52/12 = 13/3. Passo 5: Conferindo, para x = 13/3 temos y = 13 - 26/3 = 13/3, ou seja, os três lados são iguais, e S = 3·(13/3)² = 169/3, aproximadamente 56,3 cm², que é menor do que os 69 cm² do exemplo dado no enunciado. Passo 6: Por que as demais alternativas estão erradas: a alternativa B (13/2) leva a y = 0, o que não é um lado válido, e S seria 84,5 cm²; a alternativa C (11/3) decorre de um erro na expansão de (13 - 2x)², pois o termo linear correto é -52x e não -44x; a alternativa D (11/2) resulta de aplicar a fórmula do vértice com coeficientes trocados, como a = 4 e b = -44, em vez de a = 6 e b = -52.

💡 Dica: Use a equação do perímetro para expressar y em função de x e minimize a soma das áreas.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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