Observe os gráficos das funções reais f e g, definidas por f(x) = 2^x e g(x) = (1/8)^(x-1), sendo x ? IR…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Observe os gráficos das funções reais f e g, definidas por f(x) = 2^x e g(x) = (1/8)^(x-1), sendo x ? IR: Sendo A(x0, y0) o ponto de interseção desses gráficos, (x0, y0) é: (UERJ 2025)
- A) (3/4, ⁴√8)
- B) (3/2, √8)
- C) (3/4, ⁴√2)
- D) (3/2, √2)
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- No ponto de interseção, as ordenadas dos dois gráficos são iguais, então f(x0) = g(x0), ou seja, 2^x0 = (1/8)^(x0 - 1). Passo 2: Escreva a base 1/8 como potência de 2: 8 = 2^3, logo 1/8 = 2^(-3). Assim, (1/8)^(x-1) = 2^(-3(x-1)) = 2^(-3x + 3). Passo 3: As bases são iguais (2), então os expoentes também devem ser iguais: x = -3x + 3. Resolvendo, 4x = 3 e x0 = 3/4. Passo 4: Calcule a ordenada com f: y0 = 2^(3/4). Como 2^(3/4) = (2^3)^(1/4) = 8^(1/4), temos y0 = ⁴√8. Passo 5: Confira com g: g(3/4) = (1/8)^(3/4 - 1) = (1/8)^(-1/4) = 8^(1/4) = ⁴√8, o mesmo valor obtido por f. Passo 6: Logo, o ponto de interseção é (3/4, ⁴√8), alternativa A. Passo 7: A alternativa B tem abscissa 3/2, resultado de esquecer o sinal negativo do expoente de 1/8. A alternativa C acerta a abscissa, mas ⁴√2 = 2^(1/4) não é igual a 2^(3/4). A alternativa D tem abscissa 3/2 pelo mesmo erro de sinal e ordenada √2, que não corresponde a nenhuma das duas funções nesse ponto.
💡 Dica: Iguale as funções e resolva a equação exponencial para encontrar x0 e y0.
Alternativa por alternativa
CORRETA. Ao igualar f(x) = 2^x e g(x) = (1/8)^(x-1), reescrevendo (1/8) como 2^(-3), obtém-se 2^x = 2^{-3(x-1)}. Resolvendo a equação, encontra-se x₀ = 3/4 e y₀ = 2^{3/4} = ⁴√8.
Esqueceu o sinal negativo do expoente, pois 1/8 = 2^(-3), e escreveu (1/8)^(x-1) = 2^(3x-3). Com isso obteve x = 3/2, e a ordenada 2^(3/2) = √8 decorre desse valor errado de x.
Por que engana: Confundir as bases das potências ou esquecer de aplicar a propriedade de igualdade de potências com mesma base.
Acertou a abscissa 3/4, mas ao calcular 2^(3/4) tomou 8^(1/4) como 2^(1/4), ignorando o fator 3 da potência 2^3 = 8. Por isso escreveu a ordenada como ⁴√2.
Errou a abscissa pelo mesmo erro de sinal, obtendo x = 3/2, e depois calculou a ordenada como 2^(x-1) = 2^(1/2) = √2. Assim, misturou f(x) = 2^x com uma translação que não existe no enunciado.
Raio-X da questão
funções exponenciais e interseção
avaliacao
funções exponenciais · equações exponenciais
estude propriedades de funções exponenciais e resolução de equações exponenciais
Confundir as bases das potências ou esquecer de aplicar a propriedade de igualdade de potências com mesma base.
tomada_decisao
abstrato
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