MatemáticaUERJBNCC EM13MAT301Difícil⏱ medio

Para construir um alvo de dardos como o da figura 1, foram traçados dois círculos de centro D, um de raio r e…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT301

Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Para construir um alvo de dardos como o da figura 1, foram traçados dois círculos de centro D, um de raio r e outro de raio 2r, conforme ilustra a figura 2. Duas regiões são observadas no alvo: I, definida pelo círculo menor; II, a da coroa circular. Considere que um dardo lançado por uma pessoa sempre atinge o alvo em qualquer ponto das regiões I ou II, sendo a probabilidade de acertar cada região diretamente proporcional à sua respectiva área. Assim, ao lançar um dardo, a probabilidade de essa pessoa acertar a região II é igual a: (UERJ 2025)

A) 5/6
B) 2/3
C) 3/4
D) 1/2

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

Identifique as áreas. A região I é o círculo de raio r, com área pi r^2. O alvo completo é o círculo de centro D e raio 2r, com área pi (2r)^2 = 4 pi r^2. Passo 2: Calcule a área da região II, a coroa circular. Ela é a diferença entre o círculo grande e o círculo pequeno: 4 pi r^2 - pi r^2 = 3 pi r^2. Passo 3: Calcule a probabilidade. Como a probabilidade é diretamente proporcional à área, a probabilidade de acertar a região II é a área da coroa dividida pela área total do alvo: 3 pi r^2 / 4 pi r^2 = 3/4. Passo 4: Verifique a consistência. A região I tem probabilidade 1/4 e as duas somam 1, que é a probabilidade total. Assim, a alternativa correta é a C. Passo 5: Por que as outras estão erradas. A alternativa A (5/6) aparece se a área da coroa for somada em vez de subtraída. A alternativa B (2/3) surge ao comparar apenas os raios 2r e r, como se as áreas fossem proporcionais aos raios. A alternativa D (1/2) supõe que as duas regiões ocupam metades iguais do alvo, o que contraria o fato de a região II ser bem maior que a região I.

💡 Dica: Calcule as áreas dos círculos e use a razão entre elas para encontrar a probabilidade.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Procedimental

O aluno soma a área do círculo menor à área do círculo maior para obter a coroa, obtendo 4 + 1 = 5 unidades, e depois usa 6 unidades como total, em vez de subtrair as áreas.

B Erradaerro: Conceituala que mais engana

O aluno supõe que as áreas são proporcionais aos raios, e não aos quadrados dos raios, e por isso compara 2r com r e calcula 2/(2+1) = 2/3.

Por que engana: confundir a área da coroa circular com a área do círculo maior ou esquecer de subtrair a área do círculo menor.

C Correta

CORRETA. A área do círculo menor é πr² e a do círculo maior é π(2r)² = 4πr²; a área da coroa é 4πr² - πr² = 3πr². A probabilidade de acertar a região II é a razão entre a área da coroa e a área total, ou seja, 3πr² / 4πr² = 3/4.

D Erradaerro: Senso comum

O aluno acredita que as duas regiões ocupam metades iguais do alvo, pela intuição de que dividir um alvo em duas partes deve dar 50% para cada uma.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação medio

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade unica

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 progressao

🎯 Conceito central

probabilidade e área de círculos

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

área do círculo · razão entre áreas

📚 Reveja

estude cálculo de áreas de círculos e probabilidade proporcional

⚠️ Erro mais comum

confundir a área da coroa circular com a área do círculo maior ou esquecer de subtrair a área do círculo menor.

🤝 Socioemocional

tomada_decisao

🏫 Contexto

abstrato

Questões parecidas com resolução

🔎 Procurar outra questão

Procure no banco do GeraProva pelo tema ou por um trecho do enunciado. Cada questão já vem com resolução comentada e a análise de cada alternativa.

Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog