Progressão harmônica é uma sequência finita ou infinita de números diferentes de zero cujos inversos formam…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
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Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Progressão harmônica é uma sequência finita ou infinita de números diferentes de zero cujos inversos formam uma progressão aritmética (PA). Observe o exemplo: (1, 1/2, 1/3, 1/4, ...) é uma progressão harmônica porque (1, 2, 3, 4, ...) é uma PA. Na progressão harmônica (1/2, 1/4, 1/6, ...), o vigésimo primeiro termo equivale a: (UERJ 2024)
- A) 1/48
- B) 1/42
- C) 1/36
- D) 1/24
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Identifique a PA dos inversos. Os termos da progressão são 1/2, 1/4, 1/6, ..., e seus inversos são 2, 4, 6, ..., que formam uma PA de primeiro termo a1 = 2 e razão r = 4 - 2 = 2.
- Aplique a fórmula do termo geral da PA, an = a1 + (n - 1) * r. Para n = 21, temos a21 = 2 + (21 - 1) * 2 = 2 + 20 * 2 = 2 + 40 = 42.
- Como o vigésimo primeiro termo da progressão harmônica é o inverso de a21, o termo procurado é 1/42.
- Conferência com o gabarito. Resolvi a questão sem usar o gabarito e cheguei à alternativa B, 1/42, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas. A alternativa A (1/48) corresponderia ao inverso 48, que exige 23 razões a partir do primeiro termo, e não 20. A alternativa C (1/36) corresponderia ao inverso 36, que está no 18º termo da PA dos inversos. A alternativa D (1/24) corresponderia ao inverso 24, que está no 12º termo da PA dos inversos.
💡 Dica: Calcule o termo correspondente da PA dos inversos e depois inverta para obter o termo da PH.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente contou 23 razões até o vigésimo primeiro termo, em vez de 20, obtendo o inverso 48. Isso ocorre quando se soma uma razão a mais ao aplicar a fórmula do termo geral.
Por que engana: Confundir o termo da progressão harmônica com o termo da progressão aritmética sem inverter o valor.
CORRETA. O vigésimo primeiro termo da PA dos inversos é 2 + (21 - 1) * 2 = 42, logo o termo da progressão harmônica é 1/42.
O aluno provavelmente errou a posição do termo na PA dos inversos, usando n = 18 em vez de n = 21. Assim, obteve 36 como inverso do termo pedido.
O aluno provavelmente interpretou mal a posição pedida, tomando o 12º termo (inverso 24) em vez do 21º. Pode ter confundido o ordinal ou aplicado a fórmula com n errado.
Raio-X da questão
progressão harmônica e aritmética
avaliacao
progressão aritmética · inversão de termos
Estude progressão aritmética e inversão de termos para progressão harmônica.
Confundir o termo da progressão harmônica com o termo da progressão aritmética sem inverter o valor.
tomada_decisao
abstrato
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