Três números positivos, cuja soma é 30, estão em progressão aritmética. Somando-se, respectivamente, 4, –4 e 8…

Questão

Três números positivos, cuja soma é 30, estão em progressão aritmética. Somando-se, respectivamente, 4, –4 e 8 aos três números, os números obtidos formam, nessa ordem, uma progressão geométrica. Então, um dos termos da progressão aritmética é [FUVEST 2006 - Questão 26] FUVEST - 2006

1. A) 9
2. B) 11
3. C) 12
4. D) 13
5. E) 15

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Chame os termos da PA de a-r, a e a+r. Como a soma é 30, 3a = 30, logo a = 10 e os termos são 10-r, 10 e 10+r, com r menor que 10 para que todos sejam positivos. Passo 2: Somando 4, -4 e 8, obtemos (14-r), 6 e (18+r). Para formarem uma PG nessa ordem, o termo do meio ao quadrado deve ser igual ao produto dos extremos: 6^2 = (14-r)(18+r), ou seja, 36 = 252 - 4r - r^2, o que dá r^2 + 4r - 216 = 0. Passo 3: O discriminante é 16 + 864 = 880, que não é quadrado perfeito, então r = -2 + raiz de 220, aproximadamente 12,83, ou r = -2 - raiz de 220, aproximadamente -16,83. Ambos os valores de r fazem algum termo da PA ficar negativo, o que contraria o enunciado. Passo 4: Testando as alternativas, nenhuma satisfaz exatamente a condição: para 9, 11, 12, 13 e 15 o produto dos extremos da PG não resulta em 36. Passo 5: Portanto o enunciado, como está escrito, não tem solução com números positivos, e o gabarito C (12, com r = 2 ou r = -2) não reproduz a condição de PG. Passo 6: Registro a dúvida: a alternativa C é a que o gabarito oficial indica, mas a verificação direta não confirma a PG; a resposta deve ser tratada com cautela e conferida com a resolução oficial da banca.

💡 Dica: Use as propriedades de progressão aritmética e geométrica para montar equações.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

Questões parecidas com resolução

• Os números a1, a2, a3 formam uma progressão aritmética de razão r, de tal modo que a1 + 3, a2 - 3, a3 - 3 estejam em…
• Sejam a1, a2, a3, a4, a5 números estritamente positivos tais que log2a1, log2a2, log2a3, log2a4, log2a5 formam, nesta…
• Sabe-se sobre a progressão geométrica a1, a2, a3, ... que a1 > 0 e a6 = -9v3. Além disso, a progressão geométrica a1…
• Um conjunto A é composto de 8 números inteiros. Sobre seus elementos, sabe-se que: • a média dos dois menores é 64; • a…
• A sequência 5, 10, 15, 20, x, 30 é uma progressão aritmética. Qual o valor de x?
• Como parte de um projeto ambiental, foram plantadas mudas de árvores frutíferas em um terreno, dispostas em linha reta…