Os azulejos quadrados ABCD, DEFG e FHIJ foram dispostos em um mostruário, conforme ilustrado na imagem. Nesse…

Questão

Os azulejos quadrados ABCD, DEFG e FHIJ foram dispostos em um mostruário, conforme ilustrado na imagem. Nesse arranjo, os vértices B, C, E, H e I são colineares. As medidas das áreas revestidas pelos azulejos ABCD, DEFG e FHIJ, em cm², são, respectivamente, 93, 157 e X. O lado, em centímetros, do azulejo de menor área é igual a: (UERJ 2024)

1. A) 5
2. B) 6
3. C) 7
4. D) 8

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Identifique as medidas. Como ABCD, DEFG e FHIJ são quadrados, seus lados são as raízes das áreas. Chame o lado de ABCD de a, o lado de DEFG de b e o lado de FHIJ de s. Então a^2 = 93 e b^2 = 157. A área X de FHIJ é s^2.
2. Note a relação entre DEFG e ABCD. Os quadrados ABCD e DEFG compartilham o vértice D. Como B, C e E estão na mesma reta, o lado DE de DEFG forma com o segmento vertical CD (de comprimento a) um triângulo retângulo com catetos a e e, onde e é a distância horizontal de C até E. A hipotenusa desse triângulo é DE = b. Logo a^2 + e^2 = b^2.
3. Relacione e com o quadrado FHIJ. O lado EF de DEFG é perpendicular a DE e tem mesmo comprimento b. Ele forma com a reta um triângulo congruente ao anterior, de modo que a altura de F em relação à reta é exatamente e. Como H e I estão sobre a reta e FHIJ é quadrado com lado HI sobre a reta, a altura de F é também o lado s. Portanto s = e.
4. Calcule. De a^2 + e^2 = b^2, temos e^2 = b^2 - a^2 = 157 - 93 = 64. Como s = e, a área de FHIJ é X = 64 cm^2, e s = raiz de 64 = 8 cm.
5. Escolha o menor azulejo. As áreas são 93, 157 e 64. A menor é 64, que corresponde ao quadrado FHIJ. Seu lado mede 8 cm, alternativa D.
6. Por que as outras estão erradas: A) 5 não é raiz de nenhuma das áreas envolvidas. B) 6 corresponderia a área 36, que não aparece no cálculo. C) 7 corresponderia a área 49, que não é o resultado de 157 menos 93.

💡 Dica: Calcule o lado do quadrado a partir da área dada usando a fórmula da área do quadrado.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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