MatemáticaUERJBNCC EM13MAT301Difícil⏱ medio

A figura a seguir representa um quadrado ABCD de lado igual a 5 cm. Nele, observa-se o quadrado AEFG, cujo…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT301

Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

A figura a seguir representa um quadrado ABCD de lado igual a 5 cm. Nele, observa-se o quadrado AEFG, cujo lado mede x cm, sendo 0 < x < 5. A área máxima que o retângulo DGFH pode assumir, em cm², é igual a: (UERJ 2022)

A) 5,75
B) 6,25
C) 7,45
D) 8,15

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

Posicione o quadrado ABCD com A na origem, de modo que B=(5,0), C=(5,5) e D=(0,5). Como AEFG é um quadrado com vértice em A, seus lados AE e AG estão sobre os lados AB e AD, com E=(x,0), G=(0,x) e F=(x,x). Passo 2: O retângulo DGFH tem vértices D, G, F e H, em que H=(x,5). Seus lados são DG, sobre o lado AD, e GF, paralelo a AB. Passo 3: Calcule os lados. DG = 5 - x, pois D está a 5 cm de A e G a x cm de A. GF = x, pois é lado do quadrado AEFG. Passo 4: A área do retângulo é S(x) = x(5 - x) = 5x - x^2. Passo 5: Esta é uma função quadrática com coeficiente de x^2 negativo, logo tem valor máximo no vértice. Esse vértice está em x = 5/2 = 2,5, que pertence ao intervalo 0 < x < 5. Passo 6: Substituindo, S(2,5) = 2,5 x 2,5 = 6,25 cm². Passo 7: Assim a área máxima é 6,25 cm², alternativa B. Passo 8: A alternativa A (5,75) não corresponde ao máximo de x(5 - x), que é 6,25. A alternativa C (7,45) é maior que qualquer valor que o retângulo pode assumir, pois a área máxima é 6,25. A alternativa D (8,15) também excede o máximo possível. Passo 9: Para confirmar, note que x = 2 e x = 3 dão área 6, menor que 6,25, o que é coerente com o máximo estar em 2,5.

💡 Dica: Use expressões algébricas para a área e otimize a função.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Procedimentala que mais engana

Testou apenas valores inteiros ou próximos de x, como x=2 ou x=3, e obteve um valor aproximado sem chegar ao máximo exato, ou errou ao calcular x(5 - x) para algum x próximo de 2,5.

Por que engana: O aluno pode confundir as variáveis ou não montar corretamente a função da área para maximizar.

B Correta

CORRETA. A área máxima ocorre quando x = 2,5 cm, resultando em área igual a (5 - x) * x = 2,5 * 2,5 = 6,25 cm².

C Erradaerro: Procedimental

Montou a área com um lado somando 5 + x em vez de 5 - x, ou tomou DG como 5 + x, o que produz uma expressão crescente e um valor maior que o máximo real.

D Erradaerro: Conceitual

Considerou que o retângulo teria dimensões maiores que as do quadrado, por exemplo somando as medidas 5 + x e x, ou confundiu área do retângulo com a área do quadrado AEFG somada à do retângulo.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Leitura medio

Discriminação medio

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado depende_imagem

Cobertura da habilidade unica

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 progressao

🎯 Conceito central

maximização de área

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

funções quadráticas · geometria plana

📚 Reveja

estude funções quadráticas e otimização de áreas

⚠️ Erro mais comum

O aluno pode confundir as variáveis ou não montar corretamente a função da área para maximizar.

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

abstrato

Questões parecidas com resolução

🔎 Resolver outra questão

Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.

Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog