Dois observadores A e B estão no mesmo nível e distam entre si 50 m. Medem ângulos de elevação até o topo de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Dois observadores A e B estão no mesmo nível e distam entre si 50 m. Medem ângulos de elevação até o topo de uma antena: 30° em A e 45° em B. O pé da antena situa-se entre A e B. Determine: (a) a altura h da antena; (b) a distância direta da posição A até o topo. Use tan30° = 1/v3.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
Seja C o pé da antena, AC = x e BC = 50 - x. Do triângulo com ângulo em A: tan30° = h/x = 1/v3 ? h = x/v3. Do triângulo com ângulo em B: tan45° = h/(50-x) = 1 ? h = 50 - x. Igualando: x/v3 = 50 - x ? x(1/v3 + 1) = 50 ? x = 50/(1 + 1/v3). Simplificando h = 50 - x = 50/(1 + v(-)?) (racionalizando): h = 50/(v3 + 1) = 25(v3 - 1) m (forma exata). Valor numérico: v3 ˜ 1,732 ? h ˜ 18,30 m e x ˜ 31,70 m. Distância direta de A ao topo: d = v(x² + h²) ˜ v(31,6987² + 18,3013²) ˜ 36,59 m. (Passos: usar tangente para montar sistema, resolver algebricamente, racionalizar para obter forma exata, aplicar Pitágoras para a distância oblíqua.)
Explicação
A solução utiliza a definição da tangente para relacionar a altura da antena com as distâncias dos observadores até o pé da antena, formando um sistema de equações. A igualdade das expressões para a altura permite resolver algebricamente e encontrar a altura exata, que é então simplificada e racionalizada. Finalmente, a aplicação do teorema de Pitágoras fornece a distância direta do observador A até o topo da antena.
Raio-X da questão
triângulos e trigonometria
avaliacao
funções trigonométricas · triângulos retângulos
Revisar as relações trigonométricas em triângulos retângulos.
O aluno pode confundir a relação entre os ângulos e as alturas, utilizando a tangente de forma incorreta.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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