A paisagem montanhosa de Serraria Velha abriga dois mirantes naturais, A e B, conectados por trilhas de pedra…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
A paisagem montanhosa de Serraria Velha abriga dois mirantes naturais, A e B, conectados por trilhas de pedra. Para facilitar a manutenção, uma equipe mediu a distância direta entre o ponto A e um referencial C num planalto adjacente: AC = 300 m. Do ponto A, a trilha até B forma um ângulo de 60 graus em relação à direção de AC, e a distância AB ao longo da trilha é de 400 m. Essas medidas permitem calcular o trajeto direto entre os mirantes. A partir do texto-base, calcule a distância direta aproximada entre B e C, aplicando a lei do cosseno.
- A) 700,0 m
- B) 500,0 m
- C) 200,0 m
- D) 100,0 m
- E) 360,6 m
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Identificar os dados. AC = 300 m, AB = 400 m e o ângulo entre as trilhas AB e AC, medido em A, é 60 graus. Queremos o lado BC, que é oposto ao ângulo A. Passo 2: Aplicar a lei dos cossenos: BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 x AB x AC x cos(60°). Passo 3: Calcular os termos. AB^2 = 160000; AC^2 = 90000; cos(60°) = 0,5; 2 x 400 x 300 x 0,5 = 120000. Passo 4: Somar e subtrair: BC^2 = 160000 + 90000 - 120000 = 130000. Passo 5: Extrair a raiz: BC = raiz de 130000, que é aproximadamente 360,6 m. Passo 6: Conferir as alternativas. A alternativa E (360,6 m) é a correta, e o gabarito oficial coincide com essa resolução. Por que as outras estão erradas: A (700 m) soma os dois trechos sem considerar o ângulo; B (500 m) trataria o triângulo como retângulo, o que não é dado no enunciado; C (200 m) resulta de esquecer o termo AC^2 no cálculo; D (100 m) subtrai os lados ignorando o ângulo e a lei dos cossenos.
💡 Dica: Use a lei dos cossenos com o ângulo de 60° entre AC e AB.
Alternativa por alternativa
Acredita que a distância BC é a soma dos trechos AB e AC (400 + 300 = 700), como se os pontos estivessem alinhados. Ignora que o ângulo de 60 graus faz a trilha desviar da direção de AC.
Aplica o teorema de Pitágoras (300^2 + 400^2 = 250000, raiz = 500), supondo ângulo reto em A. O enunciado dá 60 graus, e a lei dos cossenos é necessária nesse caso.
Por que engana: Aplicar a lei dos cossenos com sinal positivo no termo que contém o cosseno, ou associar o ângulo de 60° a um vértice diferente do ponto A.
Calcula 160000 - 120000 = 40000 e tira a raiz, esquecendo de somar AC^2 = 90000 na lei dos cossenos. O erro está na ordem e na montagem da fórmula.
Subtrai as medidas dos trechos (400 - 300 = 100) como se BC fosse a diferença entre AB e AC. Não há relação com o ângulo nem com a lei dos cossenos.
Pela lei do cosseno, BC² = AC² + AB² − 2·AC·AB·cos(60°). Substituindo as medidas, BC² = 300² + 400² − 2·300·400·0,5 = 130 000. Portanto, BC ≈ 360,6 m.
Raio-X da questão
Lei dos cossenos
avaliacao
Teorema de Pitágoras e cosseno · Operações com raízes quadradas
Revise a lei dos cossenos e a identificação do ângulo compreendido entre os lados conhecidos.
Aplicar a lei dos cossenos com sinal positivo no termo que contém o cosseno, ou associar o ângulo de 60° a um vértice diferente do ponto A.
tomada_decisao
cotidiano
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