Na figura abaixo, a reta s passa pelo ponto P e pelo centro da circunferência de raio R, interceptando-a no…

Questão

Na figura abaixo, a reta s passa pelo ponto P e pelo centro da circunferência de raio R, interceptando-a no ponto Q, entre P e o centro. Além disso, a reta t passa por P, é tangente à circunferência e forma um ângulo a com a reta s. Se PQ = 2R , então cosa vale [FUVEST 2006 - Questão 22] FUVEST - 2006

1. A) √2/6
2. B) √2/3
3. C) √2/2
4. D) 2√2/3
5. E) 3√2/5

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Identifique os elementos. O centro da circunferência é O, o raio é OQ = R e Q está entre P e O. Na figura, a reta s liga P a O, passando por Q. Como P, Q e O estão alinhados nessa ordem, PO = PQ + QO. Logo PO = 2R + R = 3R. Passo 2: Trace o raio OT até o ponto de tangência T. Como t é tangente, o raio é perpendicular à reta t, então o triângulo OTP é retângulo em T, com hipotenusa PO = 3R e cateto OT = R. O ângulo a é o ângulo em P entre as retas s (que contém PO) e t (que contém PT). Passo 3: Calcule o cateto PT pelo Teorema de Pitágoras: PT^2 = PO^2 - OT^2 = 9R^2 - R^2 = 8R^2, então PT = 2 raiz de 2 vezes R. Passo 4: No triângulo retângulo OTP, o cateto adjacente ao ângulo a é PT e a hipotenusa é PO. Assim cos a = PT / PO = (2 raiz de 2 R) / (3R) = 2 raiz de 2 / 3, que é 2√2/3, alternativa D. Verificação: sen a = OT / PO = 1/3 e sen^2 + cos^2 = 1/9 + 8/9 = 1, o que confirma o resultado. Por que as outras estão erradas: A) √2/6 é um valor pequeno demais, resultado de divisão indevida por 2 no fim do cálculo. B) √2/3 surge de simplificar mal a raiz de 8, tratando-a como raiz de 2. C) √2/2 corresponde a um ângulo de 45 graus, o que exigiria um triângulo isósceles que não existe aqui. E) 3√2/5 corresponde a uma hipotenusa de 5 unidades, obtida com soma incorreta de segmentos ou Pitágoras errado.

💡 Dica: Use a tangência, o raio perpendicular à reta tangente e as relações trigonométricas no triângulo formado.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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