No esquema abaixo, estão representados um quadrado ABCD e um círculo de centro P e raio r, tangente às retas…

Questão

No esquema abaixo, estão representados um quadrado ABCD e um círculo de centro P e raio r, tangente às retas AB e BC. O lado do quadrado mede 3r. A medida ? do ângulo CÂP pode ser determinada a partir da seguinte identidade trigonométrica: tg (a - ß) = (tg(a) - tg(ß)) / (1 + tg(a) × tg(ß)) O valor da tangente de ? é igual a: (UERJ 2017)

1. A) 0,65
2. B) 0,60
3. C) 0,55
4. D) 0,50

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Posicione o quadrado em um plano cartesiano com B na origem, C = (3r, 0) e A = (0, 3r). Assim, AB fica sobre o eixo y, BC fica sobre o eixo x e a diagonal AC tem inclinação -1. Passo 2: Como o círculo é tangente às retas AB e BC, o centro P está a distância r das duas retas. Pela posição do círculo na figura, do lado de fora do quadrado junto ao lado BC, temos P = (r, -r). Passo 3: A diagonal AC divide o ângulo reto em A ao meio, então o ângulo BÂC mede 45 graus, com tangente igual a 1. Passo 4: Calcule o ângulo BÂP. O vetor AB aponta para baixo, e o vetor AP = (r, -4r) mostra que P está 4r abaixo de A. Logo, tg(BÂP) = r / 4r = 1/4. Passo 5: O ponto P está do mesmo lado da reta AC que o ponto B, então o ângulo CÂP é a diferença BÂC - BÂP. Aplique a identidade com a = 45 graus (tg(a) = 1) e b = BÂP (tg(b) = 1/4): tg(CÂP) = (1 - 1/4) / (1 + 1/4) = (3/4) / (5/4) = 3/5 = 0,60. Passo 6: Por que as outras alternativas estão erradas: 0,65 não corresponde à identidade aplicada corretamente, sendo resultado de erro numérico ao operar com as frações; 0,55 vem de erro de sinal ou de cálculo ao montar o numerador ou o denominador da identidade; 0,50 é igual a tg(BÂP) = 1/2, valor que surgiria se o centro estivesse em (r, r), dentro do quadrado, e se o ângulo de 45 graus não fosse subtraído.

💡 Dica: Use a identidade trigonométrica para expressar a tangente do ângulo e relacione com as medidas dadas.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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