Na figura ao lado, há uma circunferência de centro C. Se o ângulo a mede p/3 radianos, a razão entre a área do…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
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Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Na figura ao lado, há uma circunferência de centro C. Se o ângulo a mede p/3 radianos, a razão entre a área do setor circular PCQ e a área do triângulo PCQ é: (UFPR 2021)
- A) π√3/3
- B) 2π/3
- C) 2π√3/9
- D) π√3/6
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- O ângulo PCQ mede π/3 radianos (o enunciado escreve p/3, que é π/3). Sejam r o raio da circunferência, PC = CQ = r.
- Área do setor circular PCQ. Fórmula: A_setor = (θ · r^2)/2, com θ = π/3. Logo A_setor = (π/3 · r^2)/2 = π·r^2/6.
- Área do triângulo PCQ. Como dois lados medem r e o ângulo entre eles é π/3, use A = (1/2) · r · r · sen(π/3). Como sen(π/3) = raiz de 3 sobre 2, temos A_triângulo = (1/2) · r^2 · (raiz de 3 / 2) = raiz de 3 · r^2 / 4.
- Razão pedida: A_setor / A_triângulo = (π·r^2/6) / (raiz de 3 · r^2/4). Os r^2 se cancelam, ficando (π/6) · (4/raiz de 3) = 4π/(6·raiz de 3) = 2π/(3·raiz de 3). Racionalizando, multiplique numerador e denominador por raiz de 3: 2π·raiz de 3 / 9 = 2π√3/9.
- Por que as outras estão erradas:
- A) π√3/3 surge se o triângulo for tratado com área r^2/(2·raiz de 3), o que não corresponde à fórmula com seno.
- B) 2π/3 surge se o seno de π/3 for trocado por 1/2, o que dá área r^2/4 para o triângulo.
- D) π√3/6 surge se o fator 1/2 da área do triângulo for esquecido e a tangente de π/6 for usada no lugar do seno, obtendo área r^2/raiz de 3.
- Conclusão: a razão é 2π√3/9, alternativa C.
💡 Dica: Use formulas de area de setor circular e triangulo para calcular a razao.
Alternativa por alternativa
Calculou a área do triângulo como r^2/(2·raiz de 3), trocando o seno de π/3 por uma razão trigonométrica de outro ângulo. Com isso a razão fica π√3/3.
Confundiu o seno de π/3 com 1/2 (valor de sen de π/6) ao calcular a área do triângulo, obtendo r^2/4. Assim a razão sai como 2π/3, sem a raiz de 3 do seno.
CORRETA. A razão entre a área do setor circular e a área do triângulo é dada por (α/2)r² dividido por (1/2)r² sen(α), que simplifica para α/sen(α). Substituindo α = π/3 e sen(π/3) = √3/2, a razão é (π/3) / (√3/2) = 2π/(3√3) = 2π√3/9.
Esqueceu o fator 1/2 da fórmula da área do triângulo e usou a tangente de π/6 no lugar do seno, chegando a área r^2/raiz de 3 e razão π√3/6.
Raio-X da questão
area setor circular e triangulo
avaliacao
area de triangulo · area de setor circular
estude formulas de area de setores circulares e triangulos
Confundir formulas de area do setor circular e do triangulo, ou nao usar o angulo em radianos corretamente.
pensamento_critico
abstrato
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