O círculo a seguir tem o centro na origem do plano cartesiano xy e raio igual a 1. Nele, AP determina um arco…

Questão

O círculo a seguir tem o centro na origem do plano cartesiano xy e raio igual a 1. Nele, AP determina um arco de 120°. As coordenadas de P são: (UERJ 2019)

1. A) (-1/2, √3/2)
2. B) (-1/2, √2/2)
3. C) (-√3/2, 1/2)
4. D) (-√2/2, 1/2)

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Como o círculo tem centro na origem e raio 1, todo ponto P do círculo satisfaz x^2 + y^2 = 1 e pode ser escrito como (cos θ, sen θ), em que θ é o ângulo medido a partir do eixo x positivo. Como a figura não é enviada, considere o ponto de partida A sobre o eixo x positivo, isto é, A = (1, 0), que é a forma usual dessa questão. Passo 2: O arco AP mede 120° e é percorrido no sentido anti-horário, a partir de A. Logo, o ângulo de P em relação ao eixo x positivo é θ = 120°. Passo 3: 120° está no segundo quadrante, pois fica entre 90° e 180°. Nesse quadrante o cosseno é negativo e o seno é positivo. Passo 4: Como 120° = 180° - 60°, temos cos 120° = -cos 60° = -1/2 e sen 120° = sen 60° = raiz de 3 / 2. Portanto P = (-1/2, raiz de 3 / 2), que é a alternativa A, gabarito oficial. Passo 5: Verificação: (-1/2)^2 + (raiz de 3 / 2)^2 = 1/4 + 3/4 = 1, confirmando que o ponto está sobre o círculo de raio 1. Por que as outras estão erradas: a alternativa B tem a ordenada raiz de 2 / 2, que é o valor de seno de 45°, e não de 120°. A alternativa C troca as coordenadas, o que corresponde a um ponto em outra posição angular, e ainda usa valores de 30° e 150°. A alternativa D também troca as coordenadas e usa raiz de 2 / 2, valor associado a 135° ou 45°, e não a 120°.

💡 Dica: Use a definição do círculo unitário e a medida do arco para encontrar as coordenadas do ponto P.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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