Chama-se retângulo de prata o retângulo cuja razão entre o maior e o menor lado é igual ao número de prata p…

Questão

Chama-se retângulo de prata o retângulo cuja razão entre o maior e o menor lado é igual ao número de prata p. Considere os seguintes passos de construção do retângulo de prata ABEF: 1) traçou-se um quadrado ABCD com 1 dm de lado; 2) em seguida, tomando-se C como centro e AC como raio, traçou-se o arco de circunferência AGE, sendo G o ponto de interseção do arco com a reta AF e E o ponto de interseção do arco com a reta BC. Observe o esquema: Retirando-se os quadrados ABCD e CDGH desse retângulo, obtém-se o retângulo EFGH. Observe: Sabe-se que os retângulos ABEF e EFGH são semelhantes se BE/AB = EF/EH = p. Demonstre que esses retângulos são semelhantes e calcule p. Demonstre que esses retângulos são semelhantes e calcule p. (UERJ 2026)

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Diagonal = (lado do quadrado)  2. Assim, o raio mede AC = CE =12=2 Os ret�e2ngulos s�e3o semelhantes se seus lados s�e3o proporcionais BE/AB = EF/EH. Mas BE = BC + CE = 1 + 2 e EH = CE - CH = 2 - 1. A propor�e7�e3o que precisa ser verificada �e9: BE/AB = EF/EH  (2 + 1)/1 = 1/2 - 1  (2 + 1)(2 - 1) = 2 - 1 = 1 que �e9 verdadeira Logo, os ret�e2ngulos s�e3o semelhantes. Pela defini�e7�e3o, o n�famero de prata p �e9 igual a raz�e3o: BE/AB = (BC + CE)/AB = (1 + 2)/1 = 1 + 2 Logo, p = 1 + 2

Explicação

Identificar os lados correspondentes dos retângulos, usar a definição de semelhança para montar proporções, aplicar o teorema de Pitágoras para calcular os segmentos e resolver a equação para encontrar o valor de p.

Raio-X da questão

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