Dado um triângulo retângulo ABC com catetos de comprimentos a e b (ângulo reto em A), constrói-se uma reta…

Questão

Dado um triângulo retângulo ABC com catetos de comprimentos a e b (ângulo reto em A), constrói-se uma reta paralela à hipotenusa BC a uma distância d do vértice A (0<d<min(a,b)). Determine o comprimento L do segmento DE resultante, em função de a, b e d. Explique e deduza a expressão.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Coloque A na origem, AB = a no eixo x e AC = b no eixo y. A hipotenusa BC tem comprimento c = v(a²+b²) e a distância do vértice A até BC (altura relativa) é h = ab/c. A reta paralela a BC a distância d de A determina o triângulo ADE, semelhante a ABC com razão k = d/h. Assim DE = k·BC = (d/h)·c. Substituindo h = ab/c obtém-se DE = c·d·c/(ab) = (a²+b²)·d/(ab). Portanto L = DE = (a²+b²)·d/(ab).

Explicação

A solução utiliza a semelhança de triângulos para relacionar os segmentos e as alturas, permitindo encontrar a razão entre os triângulos ADE e ABC. Ao expressar a altura relativa e a hipotenusa em termos dos catetos, a fórmula final é derivada, mostrando como a distância d influencia o comprimento do segmento DE. Essa abordagem garante que a relação entre as dimensões do triângulo original e o segmento paralelo seja mantida, resultando na expressão correta.

Raio-X da questão

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