Uma urna contém uma bola branca, quatro bolas pretas e x bolas vermelhas, sendo x > 2. Uma bola é retirada ao…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma urna contém uma bola branca, quatro bolas pretas e x bolas vermelhas, sendo x > 2. Uma bola é retirada ao acaso dessa urna, é observada e recolocada na urna. Em seguida, retira-se novamente, ao acaso, uma bola dessa urna. Se 1/2 é a probabilidade de que as duas bolas retiradas sejam da mesma cor, o valor de x é: (UERJ 2017)
- A) 9
- B) 8
- C) 7
- D) 6
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- O total de bolas na urna é 1 (branca) + 4 (pretas) + x (vermelhas) = x + 5. Como a bola é recolocada, as duas retiradas são independentes e as probabilidades são as mesmas nas duas vezes.
- A probabilidade de as duas bolas serem da mesma cor é a soma dos quadrados das probabilidades de cada cor: (1/(x+5))^2 + (4/(x+5))^2 + (x/(x+5))^2 = (1 + 16 + x^2)/(x+5)^2 = (x^2 + 17)/(x+5)^2.
- Igualando a 1/2: 2(x^2 + 17) = (x + 5)^2, ou seja, 2x^2 + 34 = x^2 + 10x + 25, que resulta em x^2 - 10x + 9 = 0.
- Fatorando, (x - 1)(x - 9) = 0, logo x = 1 ou x = 9. Como a condição do enunciado é x > 2, a única solução válida é x = 9.
- Verificação: com x = 9, o total é 14 e a probabilidade é (1 + 16 + 81)/196 = 98/196 = 1/2, o que confirma a resposta.
- Por isso a alternativa correta é a A (9), que coincide com o gabarito oficial. As outras estão erradas: 8, 7 e 6 não satisfazem a equação x^2 - 10x + 9 = 0 e, portanto, não geram probabilidade igual a 1/2.
💡 Dica: Calcule a probabilidade de cada cor e use a equação dada para encontrar x.
Alternativa por alternativa
CORRETA. O valor x = 9 satisfaz a equação da probabilidade de retirar duas bolas da mesma cor, considerando a composição da urna e o fato de que a bola é recolocada antes da segunda retirada.
O aluno provavelmente errou a contagem do total de bolas ou a montagem da soma dos quadrados, chegando a uma equação que não corresponde ao enunciado.
O aluno provavelmente errou ao expandir (x + 5)^2 ou ao reorganizar a equação do segundo grau, esquecendo algum termo ou trocando um sinal.
O aluno provavelmente tomou o total de bolas como sendo x, ou seja, desconsiderou a bola branca e as pretas no denominador, e assim montou uma equação incorreta.
Por que engana: Confundir eventos dependentes e independentes ou errar ao montar a equação da probabilidade.
Raio-X da questão
probabilidade, combinatória, equação
avaliacao
probabilidade básica · equações do primeiro grau
probabilidade de eventos independentes e resolução de equações
Confundir eventos dependentes e independentes ou errar ao montar a equação da probabilidade.
tomada_decisao
abstrato
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