MatemáticaUERJBNCC EM13MAT301Difícil⏱ medio

Um cilindro circular reto possui diâmetro AB de 4 cm e altura AA' de 10 cm. O plano a, perpendicular à seção…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT301

Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Um cilindro circular reto possui diâmetro AB de 4 cm e altura AA' de 10 cm. O plano a, perpendicular à seção meridiana ABB'A', que passa pelos pontos B e A' das bases, divide o cilindro em duas partes, conforme ilustra a imagem. O volume da parte do cilindro compreendida entre o plano a e a base inferior, em cm³, é igual a: (UERJ 2017)

A) 8π
B) 12π
C) 16π
D) 20π

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

Identifique as medidas. O raio da base é 2 cm (diâmetro AB = 4 cm) e a altura é 10 cm. Coloque o cilindro em coordenadas: base inferior no plano z = 0, centro na origem, com B = (2, 0, 0), A = (-2, 0, 0) e A' = (-2, 0, 10), que está na mesma geratriz de A. Passo 2: Determine o plano a. Ele é perpendicular à seção meridiana ABB'A' (plano y = 0) e passa por B e A'. Logo, a sua interseção com o plano xz é a reta que liga B = (2, 0) a A' = (-2, 10), cuja equação é z = 5(2 - x)/2. Passo 3: Interprete a parte pedida. A região entre o plano a e a base inferior é formada pelos pontos do cilindro com 0 ≤ z ≤ 5(2 - x)/2. Assim, a altura dessa 'cunha' varia de 0 em x = 2 (ponto B) até 10 em x = -2 (região de A). Passo 4: Calcule o volume. Como a altura em cada ponto (x, y) da base é 5(2 - x)/2, o volume é a integral dupla de 5(2 - x)/2 sobre o disco de raio 2. Esse valor é (5/2) vezes [2 · área do disco - integral de x sobre o disco]. A área do disco é 4π, e a integral de x sobre o disco é zero por simetria. Então V = (5/2) · 2 · 4π = 20π cm³. Passo 5: Por que as outras estão erradas. A alternativa 8π corresponde a uma altura média de apenas 2 cm, ignorando a inclinação do plano. A alternativa 12π resulta de um cálculo com altura média incorreta. A alternativa 16π representa uma proporção de 2/5 do volume total, que não corresponde à cunha do plano. Conclusão: o volume é 20π cm³, alternativa D.

💡 Dica: Calcule o volume total e depois a fração correspondente à parte pedida.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Conceitual

Considera a altura da parte cortada como constante e igual a 2 cm, ignorando que o plano é inclinado e a altura varia de 0 a 10 cm ao longo da base.

B Erradaerro: Procedimentala que mais engana

Aplica uma altura média incorreta para a cunha, tratando a inclinação do plano de forma aproximada e chegando a um volume menor que o real.

Por que engana: Confundir a área da base com o volume total ou não considerar a posição do plano na divisão do sólido.

C Erradaerro: Conceitual

Assume que a parte cortada corresponde a 2/5 do cilindro, uma proporção sem fundamento no corte feito pelo plano, que tem altura média de 5 cm.

D Correta

CORRETA. O volume da parte do cilindro entre o plano α e a base inferior é 20π cm³, obtido ao calcular a área da seção triangular formada pelo plano e multiplicar pela altura correspondente.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado depende_imagem

Cobertura da habilidade unica

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 consolidacao

🎯 Conceito central

volume de cilindro e seções

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

volume de cilindro · seções planas em sólidos

📚 Reveja

estude cálculo de volume e propriedades de seções em cilindros

⚠️ Erro mais comum

Confundir a área da base com o volume total ou não considerar a posição do plano na divisão do sólido.

🤝 Socioemocional

tomada_decisao

🏫 Contexto

abstrato

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🔎 Resolver outra questão

Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.

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