Uma esfera de centro A e raio igual a 3 dm é tangente ao plano a de uma mesa em um ponto T. Uma fonte de luz…

Questão

Uma esfera de centro A e raio igual a 3 dm é tangente ao plano a de uma mesa em um ponto T. Uma fonte de luz encontra-se em um ponto F de modo que F, A e T são colineares. Observe a ilustração: Considere o cone de vértice F cuja base é o círculo de centro T definido pela sombra da esfera projetada sobre a mesa. Se esse círculo tem área igual à da superfície esférica, então a distância FT, em decímetros, corresponde a: (UERJ 2014)

1. A) 10
2. B) 9
3. C) 8
4. D) 7

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. A área da superfície esférica de raio 3 dm é 4 x pi x 3^2 = 36 pi dm^2. Como o círculo-sombra tem a mesma área, pi x r^2 = 36 pi, logo r = 6 dm, o raio da sombra sobre a mesa.
2. Sendo T o ponto de tangência, AT = 3 dm é perpendicular ao plano da mesa. Coloque T na origem de um plano cartesiano, com a mesa no eixo horizontal e A em (0, 3). Então F está em (0, h), com h = FT, e a borda da sombra é o ponto P = (6, 0).
3. A reta FP é tangente à esfera, ou seja, sua distância ao centro A é igual a 3. A reta FP passa por (0, h) e (6, 0), cuja equação é h x + 6 y - 6h = 0. A distância de A = (0, 3) a essa reta é |18 - 6h| / raiz de (h^2 + 36).
4. Impondo |18 - 6h| / raiz de (h^2 + 36) = 3, elevando ao quadrado: (18 - 6h)^2 = 9(h^2 + 36), o que dá 36h^2 - 216h + 324 = 9h^2 + 324, isto é, 27h^2 - 216h = 0. Logo h = 0 (não serve) ou h = 8.
5. Verificação: para h = 8, |18 - 48| = 30 e raiz de (64 + 36) = 10, e 30/10 = 3, confirmando a tangência. Portanto FT = 8 dm, que é a alternativa C, coincidindo com o gabarito oficial.
6. Por que as outras estão erradas: a alternativa A (10) é a medida da geratriz FP, não de FT; a alternativa B (9) soma AT com o raio da sombra, o que ignora a condição de tangência; a alternativa D (7) não satisfaz a condição de distância igual a 3 da reta FP ao centro.

💡 Dica: Use formulas de área da esfera e área do círculo para relacionar e encontrar FT.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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