Para se calcular a altura de uma torre, utilizou-se o seguinte procedimento ilustrado na figura: um aparelho…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Interpretar e comparar situações que envolvam juros simples com as que envolvem juros compostos, por meio de representações gráficas ou análise de planilhas, destacando o crescimento linear ou exponencial de cada caso.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Para se calcular a altura de uma torre, utilizou-se o seguinte procedimento ilustrado na figura: um aparelho (de altura desprezível) foi colocado no solo, a uma certa distância da torre, e emitiu um raio em direção ao ponto mais alto da torre. O ângulo determinado entre o raio e o solo foi de a = p/3 radianos. A seguir, o aparelho foi deslocado 4 metros em direção à torre e o ângulo então obtido foi de ß radianos, com tgß = 3v3. É correto afirmar que a altura da torre, em metros, é [FUVEST 2008 - Questão 32] FUVEST - 2008
- A) 4v3
- B) 5v3
- C) 6v3
- D) 7v3
- E) 8v3
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Chame de h a altura da torre e de d a distância inicial entre o aparelho e a base da torre. Como o aparelho é de altura desprezível, o triângulo formado pelo raio, pelo solo e pela altura da torre é retângulo, e a tangente do ângulo é cateto oposto sobre cateto adjacente.
- Com alfa = p/3, tg(alfa) = raiz de 3. Então tg(alfa) = h/d, ou seja, h = d vezes raiz de 3, e portanto d = h/raiz de 3.
- Após o deslocamento de 4 metros em direção à torre, a nova distância é d - 4. Com tg(beta) = 3 vezes raiz de 3, temos h/(d - 4) = 3 vezes raiz de 3, logo d - 4 = h/(3 vezes raiz de 3).
- Substitua d na segunda equação: h/raiz de 3 - 4 = h/(3 vezes raiz de 3). Multiplique tudo por 3 vezes raiz de 3: 9h/raiz de 3 ... na forma simplificada, 3h - 12 vezes raiz de 3 = h.
- Isole h: 2h = 12 vezes raiz de 3, logo h = 6 vezes raiz de 3 metros.
- Verificação: se h = 6 vezes raiz de 3, então d = 6 metros e d - 4 = 2 metros. Como h/2 = 3 vezes raiz de 3, a tangente de beta é de fato 3 vezes raiz de 3, o que confirma o resultado.
- Por que as outras estão erradas: a alternativa A surge se o aluno ignora o deslocamento e toma 4 metros como a distância inicial; a alternativa B resulta de erro no cálculo ao isolar h; a alternativa D decorre de erro na relação entre as distâncias; a alternativa E aparece com erro de sinal ou de álgebra ao resolver a equação.
💡 Dica: Use as relações trigonométricas dos ângulos para montar um sistema e encontrar a altura.
Alternativa por alternativa
O aluno ignora o deslocamento de 4 metros e toma esse valor como a distância inicial do aparelho à torre, calculando h = 4 vezes raiz de 3 a partir de tg(alfa) = raiz de 3.
O aluno монтa corretamente as duas equações, mas erra a subtração ao isolar h, chegando a 2h = 10 vezes raiz de 3 em vez de 12 vezes raiz de 3.
Por que engana: Confundir a relação entre os ângulos e as alturas, aplicando a tangente de forma incorreta.
Incorreta. A altura calculada é menor que o valor correto.
O aluno inverte a relação entre altura e distância na primeira equação, tomando d = h vezes raiz de 3, e obtém um valor incoerente que, por erro de cálculo, leva a 7 vezes raiz de 3.
O aluno comete erro de sinal ou de multiplicação ao substituir d por h/raiz de 3 na equação do deslocamento, obtendo 2h = 16 vezes raiz de 3.
Raio-X da questão
trigonometria, tangente, triângulo retângulo
avaliacao
tangente de ângulos · triângulo retângulo
Revisar propriedades da tangente e resolução de triângulos retângulos.
Confundir a relação entre os ângulos e as alturas, aplicando a tangente de forma incorreta.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
cotidiano
Questões parecidas com resolução
- Em levantamentos topográficos com instrumentos ópticos, a altura de um objeto inacessível pode ser estimada a partir de…
- Dois observadores A e B estão no mesmo nível e distam entre si 50 m. Medem ângulos de elevação até o topo de uma antena…
- Do solo, a um ponto P vê-se o topo de uma torre com ângulo de elevação 30°. Ao aproximar 10 m em direção à torre, o…
- Um arquiteto está projetando um prédio e precisa calcular a altura de uma Torre triangular. Os lados da base medem 10m e…
- (DISSERTATIVA, dificuldade 3) Uma régua vertical de 1,2 m produz, ao mesmo Sol, sombra de 0,8 m; no mesmo instante, a…
- Para realizar o cálculo da diferença de altitude (altura) entre dois pontos A e B, localizados no terreno, um técnico…
🔎 Procurar outra questão
Procure no banco do GeraProva pelo tema ou por um trecho do enunciado. Cada questão já vem com resolução comentada e a análise de cada alternativa.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog