— Se essa haste ficar grande demais, não cabe no vão — disse o instalador ao ajustar um gabarito em um…

Questão

— Se essa haste ficar grande demais, não cabe no vão — disse o instalador ao ajustar um gabarito em um aplicativo de desenho. Na tela, aparece a mesma construção da imagem: o ponto O é a origem, o ponto D está a 1 unidade no eixo horizontal, e a reta vertical que passa por D encontra a semirreta que forma o angulo alfa com o eixo x no ponto F. O segmento DF (vertical) está identificado como tan alfa e o segmento OF (inclinado) como sec alfa. No projeto, a distância horizontal OD deve permanecer igual a 1 m, mas o ponto F pode subir, aumentando DF. Para evitar desperdício, o instalador quer escolher a maior altura possível sem que a haste OF ultrapasse 1,25 m. Com base na construção apresentada no texto e na imagem, conclua o maior valor possível para DF (em m), de modo que OF seja igual a 1,25 m.

1. A) 1,00
2. B) 0,60
3. C) 0,50
4. D) 0,75
5. E) 1,25

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Identifique o triângulo retângulo da construção. O cateto horizontal é OD, que vale 1 m, o cateto vertical é DF, que é o que queremos encontrar, e a hipotenusa é OF, que deve medir 1,25 m. O ângulo alfa está na origem O, entre OD e OF. Passo 2: Use a relação do cosseno, que é cateto adjacente sobre hipotenusa: cos alfa = OD / OF = 1 / 1,25 = 0,8. Como o texto diz que OF é sec alfa, isso confirma que sec alfa = 1,25, ou seja, cos alfa = 0,8. Passo 3: Como cos alfa = 0,8, o seno vale 0,6, pois sen^2 alfa + cos^2 alfa = 1 gera sen alfa = raiz de (1 - 0,64) = raiz de 0,36 = 0,6. Passo 4: Calcule DF, que é tan alfa = sen alfa / cos alfa = 0,6 / 0,8 = 0,75 m. Confira pelo teorema de Pitágoras: OF^2 = OD^2 + DF^2, então DF^2 = 1,5625 - 1 = 0,5625 e DF = 0,75. Passo 5: Conclusão: a maior altura possível para o ponto F, sem que a haste ultrapasse 1,25 m, corresponde a DF = 0,75 m, alternativa D. Por que as outras estão erradas: A (1,00) é igual a OD, que é a distância horizontal fixa e não a vertical; B (0,60) é o valor de sen alfa, e não de tan alfa; C (0,50) resulta de subtrair OD de OF sem elevar ao quadrado; E (1,25) é a medida da própria haste OF, que é a hipotenusa e não o cateto DF.

💡 Dica: Use a relação trigonométrica entre os segmentos para calcular DF.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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