Em um recipiente com a forma de um paralelepípedo retângulo com 40 cm de comprimento, 25 cm de largura e 20 cm…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um recipiente com a forma de um paralelepípedo retângulo com 40 cm de comprimento, 25 cm de largura e 20 cm de altura, foram depositadas, em etapas, pequenas esferas, cada uma com volume igual a 0,5 cm³. Na primeira etapa, depositou-se uma esfera; na segunda, duas; na terceira, quatro; e assim sucessivamente, dobrando-se o número de esferas a cada etapa. Admita que, quando o recipiente está cheio, o espaço vazio entre as esferas é desprezível. Considerando 2¹° = 1000, o menor número de etapas necessárias para que o volume total de esferas seja maior do que o volume do recipiente é: (UERJ 2014)
- A) 15
- B) 16
- C) 17
- D) 18
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Calcule o volume do recipiente: 40 x 25 x 20 = 20000 cm³. Passo 2: Na etapa n, são depositadas 2^(n-1) esferas. O volume acumulado após n etapas é a soma de uma progressão geométrica de razão 2: 1 + 2 + 4 + ... + 2^(n-1) = 2^n - 1 esferas. Como cada esfera tem 0,5 cm³, o volume total após n etapas é 0,5 x (2^n - 1) cm³. Passo 3: Impõe-se que esse volume seja maior que 20000: 0,5 x (2^n - 1) > 20000, ou seja, 2^n - 1 > 40000, portanto 2^n > 40001. Passo 4: Com 2^10 = 1000, temos 2^15 = 32 x 1000 = 32000, que ainda é menor que 40001; e 2^16 = 64 x 1000 = 64000, que é maior. Passo 5: Verificação direta: após 15 etapas o volume é 0,5 x 32767 = 16383,5 cm³, insuficiente; após 16 etapas é 0,5 x 65535 = 32767,5 cm³, maior que 20000. Logo, o menor número de etapas é 16. Passo 6: Por que as outras estão erradas: a alternativa A (15) não basta, pois 15 etapas ainda deixam o volume em 16383,5 cm³; a alternativa C (17) é maior que o mínimo necessário, pois a 16ª etapa já ultrapassa o volume do recipiente; a alternativa D (18) também é superior ao mínimo, pois o problema pede o menor número de etapas. O gabarito oficial B está correto.
💡 Dica: Calcule o volume do recipiente e compare com o volume acumulado das esferas em cada etapa usando progressão geométrica.
Alternativa por alternativa
O aluno compara diretamente o número de esferas, 2^15 = 32000, com o volume do recipiente (20000 cm³), ignorando que cada esfera tem volume de 0,5 cm³ e que a soma acumulada é 2^n - 1.
Por que engana: Confundir o volume total das esferas com o número de esferas ou esquecer de considerar o volume de cada esfera.
CORRETA. Na 16ª etapa, a soma dos volumes das esferas ultrapassa o volume do recipiente, conforme o cálculo da soma dos termos da PG.
O aluno dobra indevidamente a exigência de volume ou usa uma aproximação errada da potência de 2, concluindo que seria necessário atingir cerca de 80000 esferas, e por isso passa da etapa 16.
O aluno superestima a soma acumulada das esferas, tratando-a como 2^(n+1) ou aplicando a fórmula da soma de forma incorreta, o que o leva a uma etapa a mais do que a necessária.
Raio-X da questão
progressão geométrica e volume
avaliacao
volume de paralelepípedo · progressão geométrica
estude progressão geométrica e cálculo de volume de paralelepípedo
Confundir o volume total das esferas com o número de esferas ou esquecer de considerar o volume de cada esfera.
tomada_decisao
cotidiano
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