São dados, no plano cartesiano, o ponto P de coordenadas (3, 6) e a circunferência C de equação (x - 1)² + (y…

Questão

São dados, no plano cartesiano, o ponto P de coordenadas (3, 6) e a circunferência C de equação (x - 1)² + (y - 2)² = 1. Uma reta t passa por P e é tangente a C em um ponto Q. Então a distância de P a Q é [FUVEST 2013 - Questão 25] FUVEST - 2013

1. A) v15
2. B) v17
3. C) v18
4. D) v19
5. E) v20

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Identifique o centro e o raio de C. Na equação (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1, o centro é O = (1, 2) e o raio é r = 1. Passo 2: Como t é tangente a C em Q, o raio OQ é perpendicular a t, então o triângulo OQP é retângulo em Q, com hipotenusa OP. Passo 3: Calcule OP pela distância entre (1, 2) e (3, 6): OP^2 = (3 - 1)^2 + (6 - 2)^2 = 4 + 16 = 20. Passo 4: Aplique Pitágoras no triângulo retângulo: PQ^2 + r^2 = OP^2, logo PQ^2 = 20 - 1 = 19 e PQ = raiz de 19. Passo 5: Conferência das alternativas. O valor obtido por este cálculo corresponde à alternativa D (raiz de 19). A alternativa B (raiz de 17) não é o resultado desse procedimento, pois exigiria PQ^2 = 17, ou seja, OP^2 = 18, o que não coincide com as coordenadas dadas. Por isso, recomenda-se conferir o gabarito oficial desta questão antes de adotá-lo como referência. Passo 6: Por que as outras estão erradas. A (raiz de 15) exigiria PQ^2 = 15, o que corresponde a subtrair 5 de 20, valor sem base no teorema. C (raiz de 18) exigiria subtrair 2 de 20, sem relação com o raio igual a 1. E (raiz de 20) é a própria distância OP^2 e esquece de subtrair o raio ao quadrado.

💡 Dica: Use a condição de tangência para encontrar o ponto Q e calcule a distância PQ.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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