ENEM - 2009 Considere um ponto P em uma circunferência de raio r no plano cartesiano. Seja Q a projeção…

Questão

ENEM - 2009 Considere um ponto P em uma circunferência de raio r no plano cartesiano. Seja Q a projeção ortogonal de P sobre o eixo x, como mostra a figura, e suponha que o ponto P percorra, no sentido anti-horário, uma distância d = r sobre a circunferência. Então, o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância dada por Então, o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância dada por

1. A) R( 1 - sen d/r ).
2. B) R( 1 - cos d/r ).
3. C) R( 1 - tag d/r ).
4. D) Rsen (r/d).
5. E) Rcos (r/d).

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Identifique o que a questão pede. P percorre uma distância d = r sobre a circunferência de raio R (ou r). Como o comprimento do arco é igual ao raio multiplicado pelo ângulo central em radianos, o ângulo percorrido por P é θ = d/r. Passo 2: Escreva a posição da projeção Q. Como Q é a projeção ortogonal de P sobre o eixo x, a abscissa de Q é x = R·cos(θ), pois o cosseno é a coordenada horizontal do ponto da circunferência. Passo 3: Determine a posição inicial. Na figura, P começa sobre o eixo x (no ponto de abscissa R), de modo que Q começa em x = R. Passo 4: Calcule a distância percorrida por Q. A distância no eixo x é a diferença entre a posição inicial e a posição final: R - R·cos(d/r) = R(1 - cos(d/r)). Passo 5: Compare com as alternativas. A alternativa B é R(1 - cos d/r), que coincide com o resultado obtido. Por que as outras estão erradas: A usa seno, que é a coordenada vertical de P e não a projeção sobre o eixo x; C usa tangente, que não representa a projeção de P e ainda se torna indefinida em alguns valores; D inverte a razão, usando r/d em vez de d/r, e não inclui a subtração necessária; E também inverte a razão (r/d) e usa cosseno sem a subtração, de modo que não representa a distância percorrida por Q.

💡 Dica: Use a definição de arco e a projeção ortogonal para relacionar os pontos.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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