— Se o arco ficar muito “aberto”, o pano encosta no chão; se ficar “invertido”, vira uma vala — comentou o…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Converter representações algébricas de funções polinomiais de 2º grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais uma variável for diretamente proporcional ao quadrado da outra, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica, entre outros materiais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
— Se o arco ficar muito “aberto”, o pano encosta no chão; se ficar “invertido”, vira uma vala — comentou o cenógrafo, ajustando a estrutura de um palco. Para planejar o arco, ele adotou um sistema de eixos no qual o chão do palco é o eixo x (em metros), com o apoio esquerdo na posição x = 0 e o apoio direito em x = 6. A altura do arco, em metros, é dada por y = k*x*(6 - x). Por exigência de segurança, o arco deve tocar o chão apenas nos apoios e atingir altura máxima de 6 m no ponto central entre eles. Com base nisso, o valor de k é ajustado e, depois, o formato do gráfico é analisado no plano cartesiano (x,y). Interprete as informações do texto e conclua a descrição geométrica do gráfico da função y = k*x*(6 - x) após o ajuste para que a altura máxima seja 6 m.
- A) parábola com concavidade para baixo, vértice em (3,6) e zeros em x=0 e x=6
- B) parábola com concavidade para cima, vértice em (3,6) e zeros em x=0 e x=6
- C) parábola com concavidade para baixo, vértice em (6,0) e zeros em x=0 e x=6
- D) parábola com concavidade para baixo, vértice em (3,6) e zeros em x=-6 e x=0
- E) parábola com concavidade para baixo, vértice em (3,4) e zeros em x=0 e x=6
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Os apoios estão em x = 0 e x = 6, e a função é y = k*x*(6 - x). Como y = 0 quando x = 0 ou x = 6, os zeros da função são exatamente os apoios, o que já descarta qualquer alternativa com zeros diferentes.
- O ponto central entre os apoios é x = 3, pois (0 + 6)/2 = 3. Substituindo, y = k*3*(6 - 3) = 9k. A altura máxima do arco deve ser 6 m, então 9k = 6, o que dá k = 2/3.
- Com k = 2/3, a função fica y = (2/3)*x*(6 - x), ou seja, y = -(2/3)x^2 + 4x. Como o coeficiente de x^2 é negativo, a parábola tem concavidade para baixo, e seu vértice está em x = 3, y = 6, ou seja, (3,6). Isso confirma a alternativa A.
- Por que as outras estão erradas: a alternativa B troca a concavidade, mas com k positivo a parábola abre para baixo; a alternativa C coloca o vértice em (6,0), que é um zero da função e não o ponto de altura máxima; a alternativa D desloca os zeros para x = -6 e x = 0, quando os apoios estão em 0 e 6; a alternativa E calcula a altura máxima como 4, mas a exigência do texto é 6 m.
- Conclusão: a descrição geométrica correta é a da alternativa A. Concorda com o gabarito oficial.
💡 Dica: Calcule o valor de k usando a altura máxima e analise a concavidade da parábola.
Alternativa por alternativa
Como y_max ocorre em x=3, y(3)=9k=6, logo k=2/3>0 e o termo x^2 fica negativo: concavidade para baixo; zeros em 0 e 6.
O aluno percebe que o vértice está em (3,6) e os zeros em 0 e 6, mas acredita que a concavidade é para cima, talvez por associar a forma de 'arco' de sustentação a uma parábola voltada para cima, como um vale.
Por que engana: Confundir concavidade da parábola ou calcular incorretamente o valor de k para a altura máxima.
O aluno confunde o vértice com um dos zeros da função, tomando (6,0) como ponto de altura máxima, possivelmente por ter identificado o apoio direito como o ponto mais alto do arco.
O aluno desloca o intervalo dos apoios para x = -6 e x = 0, provavelmente por erro de sinal ao escrever o fator (6 - x) ou ao igualar 6 - x a zero, obtendo x = -6 em vez de x = 6.
O aluno calcula a altura máxima como 9k = 4 ou usa k = 4/9, possivelmente por erro de cálculo na substituição de x = 3 ou por ter ajustado a altura a outro valor sem reler a exigência de 6 m.
Raio-X da questão
função quadrática e parábola
avaliacao
função quadrática básica · propriedades do vértice
estude propriedades da função quadrática e vértice da parábola
Confundir concavidade da parábola ou calcular incorretamente o valor de k para a altura máxima.
pensamento_critico
cotidiano
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