Como definir o ponto mais alto de um arco desenhado em um projeto? Em um memorial de instalação artística, a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Converter representações algébricas de funções polinomiais de 2º grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais uma variável for diretamente proporcional ao quadrado da outra, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica, entre outros materiais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Como definir o ponto mais alto de um arco desenhado em um projeto? Em um memorial de instalação artística, a equipe de cenografia descreveu, em um sistema de eixos cartesianos, o contorno superior de um arco por uma função quadrática. O eixo x representa a distância horizontal (em metros) a partir de um marco no piso, e o eixo y representa a altura (em metros) em relação ao piso. Para as medidas escolhidas, o contorno foi modelado por y = -x^2 + 6x - 5. O projeto prevê fixar um elemento decorativo exatamente no ponto de maior altura do arco. Para isso, é necessário identificar, no plano cartesiano, o vértice da parábola correspondente e reconhecer o sentido de sua concavidade. Analise a função apresentada no texto e conclua a concavidade da parábola e as coordenadas do seu vértice, que indicam o ponto de maior altura do arco.
- A) parábola com concavidade para baixo e vértice em (1,0)
- B) parábola com concavidade para cima e vértice em (3,4)
- C) parábola com concavidade para baixo e vértice em (3,4)
- D) parábola com concavidade para baixo e vértice em (3,-4)
- E) parábola com concavidade para baixo e vértice em (-3,4)
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Identifique os coeficientes da função y = -x^2 + 6x - 5, com a = -1, b = 6 e c = -5. Passo 2: Como a é negativo (a = -1 < 0), a parábola tem concavidade para baixo, o que significa que ela possui um ponto de máximo, justamente o ponto mais alto do arco. Passo 3: A abscissa do vértice é xv = -b/(2a) = -6/(2·(-1)) = -6/(-2) = 3. Passo 4: Substituindo x = 3 na função, obtemos yv = -(3)^2 + 6·3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4. Assim, o vértice é (3,4), que é o ponto de maior altura do arco. Passo 5: Conferindo as alternativas: a A está errada porque (1,0) é uma das raízes da função (−1 + 6 − 5 = 0), não o vértice. A B está errada porque afirma concavidade para cima, mas a < 0. A D está errada porque o valor de yv é 4, não −4. A E está errada porque xv = 3, não −3. Passo 6: O gabarito oficial C está correto, coincidindo com a resolução feita aqui.
💡 Dica: Calcule o vértice da parábola usando a fórmula e analise o coeficiente de x² para a concavidade.
Alternativa por alternativa
O aluno encontrou um ponto da parábola que está sobre o eixo x (uma raiz, pois -1 + 6 - 5 = 0) e tomou essa coordenada como vértice, sem aplicar a fórmula da abscissa do vértice.
Por que engana: Confundir o sinal do coeficiente de x² e calcular incorretamente as coordenadas do vértice.
O aluno calculou corretamente o vértice (3,4), mas ignorou o sinal negativo do coeficiente de x^2 e concluiu que a concavidade é para cima.
Como a=-1<0, a concavidade é para baixo. Completando quadrados: y=-(x-3)^2+4, logo o vértice é (3,4).
O aluno acertou a abscissa x = 3, mas errou o sinal ao calcular a ordenada, obtendo yv = -4 em vez de 4 (provavelmente ao tratar o termo +18 ou o termo -5 com sinal trocado).
O aluno inverteu o sinal ao aplicar xv = -b/(2a), escrevendo -6/(-2) como -3 em vez de 3, o que levou à abscissa errada.
Raio-X da questão
vértice e concavidade da parábola
avaliacao
função quadrática básica · fórmula do vértice da parábola
estude cálculo de vértice e concavidade de funções quadráticas
Confundir o sinal do coeficiente de x² e calcular incorretamente as coordenadas do vértice.
tomada_decisao
cotidiano
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