Entre bancadas de uma feira de consertos, um grupo montava uma moldura retangular de 1 m por 2 m para ajustar…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Entre bancadas de uma feira de consertos, um grupo montava uma moldura retangular de 1 m por 2 m para ajustar a regulagem de uma cortadora a laser. No aplicativo usado, a diagonal aparecia como "valor exato: raiz quadrada de 5". A monitora lembrou duas regras anotadas no mural: (1) decimais finitos e decimais com repeticao de um bloco (indicada por parenteses) representam numeros racionais; (2) decimais infinitos sem repeticao de bloco representam numeros irracionais. Para marcar a medida na regua, ela sugeriu um teste: comparar quadrados proximos, pois, se a^2 < 5 < b^2, entao a < raiz quadrada de 5 < b. Depois, um aprendiz registrou em seu caderno algumas possibilidades de escrita e o intervalo de 0,001 m em que colocaria a marca. Com base no texto, identifique a anotacao que e consistente com o fato de o valor ser irracional e com sua localizacao entre duas marcas consecutivas de 0,001 m.
- A) 2,2360679...; entre 2,235 e 2,236
- B) 2,23(60); entre 2,236 e 2,237
- C) 2,2360679...; entre 2,236 e 2,237
- D) 2,236(0679); entre 2,236 e 2,237
- E) 2,2360679000...; entre 2,236 e 2,237
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Ache os quadrados perfeitos vizinhos de 5. Como 2^2 = 4 < 5 < 9 = 3^2, temos 2 < raiz quadrada de 5 < 3. Passo 2: Refine o intervalo com centésimos e milésimos. 2,2^2 = 4,84 < 5 < 5,29 = 2,3^2, então 2,2 < raiz de 5 < 2,3. Passo 3: Teste 2,236^2 = 4,999696, que é menor que 5, e 2,237^2 = 5,004169, que é maior que 5. Logo 2,236 < raiz quadrada de 5 < 2,237, ou seja, a marca fica entre 2,236 e 2,237, duas marcas consecutivas de 0,001 m. Passo 4: Para a escrita, raiz quadrada de 5 é irracional, pois não é a razão de inteiros; sua representação decimal é infinita e não periódica, começando por 2,2360679... As demais opções têm problemas: A) a escrita 2,2360679... é adequada, mas o intervalo entre 2,235 e 2,236 está errado, pois o valor é maior que 2,236. B) 2,23(60) é uma dízima periódica, logo racional, e não irracional. D) 2,236(0679) também é dízima periódica, logo racional. E) 2,2360679000... tem apenas zeros depois de um ponto, o que corresponde a um decimal finito, logo racional; além disso, 2,2360679 é apenas uma aproximação de raiz quadrada de 5. Passo 5: A alternativa C é a única que combina a escrita infinita e não periódica com o intervalo correto entre 2,236 e 2,237.
💡 Dica: Compare os quadrados dos números para localizar a raiz de 5 entre duas marcas.
Alternativa por alternativa
O aluno acerta a forma decimal infinita e não periódica, mas erra o intervalo, achando que o valor está abaixo de 2,236. Não verificou o quadrado de 2,236, que é menor que 5.
O aluno lê 2,23(60) como se fosse uma aproximação válida e não percebe que a parte entre parênteses é um bloco repetido, o que torna o número racional. Confunde a localização do intervalo com a natureza do número.
Por que engana: Confundir números racionais com irracionais ao interpretar decimais periódicos e não periódicos.
E decimal infinito sem periodo e, como 2,236^2<5<2,237^2, fica entre 2,236 e 2,237.
O aluno vê um bloco entre parênteses no fim da expansão e acha que a presença de um padrão de dígitos indica uma parte periódica, sem perceber que a regra da monitora exige repetição para classificar como racional. Concluiu que a escrita é compatível com o irracional, sem analisar a regra.
O aluno acredita que zeros finais dão a ideia de infinitude do valor, ignorando que 2,2360679000... é um decimal finito que termina em zeros, logo racional. Confunde a aproximação com o valor exato da raiz.
Raio-X da questão
números irracionais e aproximação decimal
diagnostico
raiz quadrada e números reais · propriedades dos números racionais
estude números racionais, irracionais e aproximação decimal
Confundir números racionais com irracionais ao interpretar decimais periódicos e não periódicos.
pensamento_critico
cotidiano
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