— O programa do cortador a laser so aceita medidas em fracao de centimetro, tipo 13/2 cm — reclamou um aluno…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
— O programa do cortador a laser so aceita medidas em fracao de centimetro, tipo 13/2 cm — reclamou um aluno ao montar uma placa de acrilico. Para posicionar uma haste de reforco, ele marcou dois furos em uma malha quadriculada em que cada quadrado mede 1 cm de lado. Cada par de furos ficou alinhado com as linhas da malha, de modo que a separacao horizontal e vertical entre eles podia ser contada em centimetros. Como a haste deve ter exatamente a distancia entre os furos, o aluno comparou cinco opcoes de pares. Em cada opcao, os furos diferem por uma certa quantidade de centimetros na horizontal e outra na vertical. Ele quer evitar a unica opcao cuja distancia nao possa ser escrita como numero racional, pois o programa nao registra esse valor exato. Considere as cinco opcoes descritas no texto e o calculo da distancia entre dois pontos por meio de catetos horizontal e vertical. Identifique em qual opcao a distancia entre os furos nao pode ser expressa por um numero racional.
- A) a separacao de 3 cm na horizontal e 4 cm na vertical
- B) a separacao de 7 cm na horizontal e 24 cm na vertical
- C) a separacao de 5 cm na horizontal e 12 cm na vertical
- D) a separacao de 6 cm na horizontal e 8 cm na vertical
- E) a separacao de 5 cm na horizontal e 5 cm na vertical
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Os furos formam os catetos de um triângulo retângulo, e a distância entre eles é a hipotenusa: d = raiz(a^2 + b^2), em que a é a separação horizontal e b é a separação vertical. Passo 2: Calcule cada opção. Em A, 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25, então d = raiz de 25 = 5, um número racional. Em B, 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625, então d = raiz de 625 = 25, racional. Em C, 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169, então d = raiz de 169 = 13, racional. Em D, 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100, então d = raiz de 100 = 10, racional. Em E, 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50, então d = raiz de 50 = raiz de (25 x 2) = 5 raiz de 2. Passo 3: A raiz de 2 é irracional, pois não existe fração p/q cujo quadrado seja 2. Multiplicar um racional não nulo (5) por um irracional continua resultando em irracional, logo 5 raiz de 2 não é racional. Passo 4: Conclusão: a única distância que não pode ser escrita como número racional é a da opção E, que coincide com o gabarito oficial. Passo 5: Em resumo, A, B, C e D são ternas pitagóricas cujas hipotenusas são inteiras, por isso são racionais; a opção E é a única com hipotenusa irracional.
💡 Dica: Calcule a distância usando o teorema de Pitágoras e verifique se o resultado é racional.
Alternativa por alternativa
O aluno pode somar os catetos (3 + 4 = 7) em vez de usar o teorema de Pitágoras, ou supor que a distância entre furos com medidas inteiras sempre é irracional.
O aluno calcula corretamente a soma dos quadrados mas erra o valor de 24^2 ou não reconhece que 625 é quadrado perfeito, concluindo erradamente que a raiz é irracional.
O aluno erra na soma 25 + 144 ou na extração da raiz de 169, e assim não percebe que a distância é o inteiro 13.
O aluno pode somar 6 + 8 = 14 ou elevar ao quadrado de forma errada, sem reconhecer que a soma 36 + 64 = 100 resulta em distância 10, racional.
raiz quadrada de(5^2+5^2)=raiz quadrada de 50=5*raiz quadrada de 2, que e irracional.
Raio-X da questão
distância entre pontos, números racionais
avaliacao
teorema de Pitágoras · números racionais
teorema de Pitágoras e números racionais
O aluno pode confundir números irracionais com racionais, não aplicando corretamente o teorema de Pitágoras para verificar a distância.
tomada_decisao
cotidiano
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