- Engenheiro, qual deve ser o alcance do sistema para que a central de monitoramento, instalada na origem do…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
- Engenheiro, qual deve ser o alcance do sistema para que a central de monitoramento, instalada na origem do plano cartesiano, alcance as quatro estações de qualidade do ar sinalizadas pelos pontos A, B, C e D? - Para definir o raio mínimo de cobertura, será necessário calcular a distância entre a origem e cada estação. A figura mostra as posições relativas de A, B, C e D no plano, com coordenadas visíveis. Utilize esses dados para determinar o valor de alcance que garanta cobertura total. Determine o menor raio, em unidades do plano cartesiano, que garanta alcance até todas as estações A, B, C e D.
- A) raiz de 8 unidades
- B) 4 unidades
- C) raiz de 13 unidades
- D) 20 unidades
- E) raiz de 20 unidades
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- A central fica na origem (0, 0). A distância de um ponto (x, y) até a origem é calculada pelo teorema de Pitágoras: d = raiz de (x^2 + y^2). Passo 2: Calcule essa distância para cada estação A, B, C e D, usando as coordenadas indicadas na figura. Passo 3: O raio mínimo que garante cobertura de todas as estações é a maior dessas quatro distâncias, pois qualquer alcance menor deixaria a estação mais distante fora da área. Passo 4: Ao aplicar o cálculo às coordenadas da figura, a estação mais distante está a raiz de 20 unidades da origem, ou seja, a soma dos quadrados de suas coordenadas é 20. Passo 5: Por que a alternativa E está correta: raiz de 20 é a maior distância entre a origem e as estações, e as demais estações estão a distância igual ou menor, logo todas ficam cobertas com o menor raio possível. Passo 6: Por que as outras estão erradas: a alternativa A (raiz de 8) é menor que a distância da estação mais distante, deixando-a fora da cobertura. Passo 7: A alternativa B (4 unidades) é menor que raiz de 20, pois 4 é raiz de 16, e também não alcança a estação mais distante. Passo 8: A alternativa C (raiz de 13) é menor que raiz de 20, portanto insuficiente para cobrir todas as estações. Passo 9: A alternativa D (20 unidades) até garante cobertura, mas não é o menor raio, porque 20 é o quadrado de raiz de 20, e o enunciado pede o menor valor que cumpra a condição.
💡 Dica: Calcule a distância da origem a cada ponto e escolha o maior valor.
Alternativa por alternativa
Tomou a distância de uma estação mais próxima da origem como alcance, esquecendo que o raio precisa alcançar todas as estações, inclusive a mais distante.
Usou uma coordenada isolada da estação como se fosse a distância até a origem, ou extraiu a raiz de 16 de forma incorreta, sem aplicar a soma dos quadrados.
Calculou corretamente a distância de uma estação intermediária (soma de quadrados igual a 13) e a escolheu como alcance, sem comparar com a estação mais distante.
Por que engana: O aluno pode confundir as distâncias ou não identificar o maior valor corretamente.
Calculou a soma dos quadrados das coordenadas (20) e esqueceu de extrair a raiz quadrada, confundindo distância ao quadrado com distância.
A maior distância da origem ocorre em C(2,-4): raiz de (2^2+(-4)^2)=raiz de 20 unidades, definindo o raio mínimo.
Raio-X da questão
distância no plano cartesiano
avaliacao
distância entre pontos · teorema de Pitágoras
estude cálculo de distância entre pontos no plano cartesiano
O aluno pode confundir as distâncias ou não identificar o maior valor corretamente.
tomada_decisao
abstrato
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