— Engenheiro civil: “Precisamos verificar quais marcos estão dentro da zona de monitoramento prevista.” Uma…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
— Engenheiro civil: “Precisamos verificar quais marcos estão dentro da zona de monitoramento prevista.” Uma nova passarela será instalada ligando dois desses marcos como parte de um projeto de requalificação urbana. Para isso, eles definiram uma circunferência de centro na origem do plano cartesiano e raio igual a 5 unidades. No diagrama apresentado, observa-se os pontos A(5,4), B(5,-2), C(-4,4) e D(-4,2). A equipe deve indicar quais desses pontos ficam estritamente no interior dessa circunferência, isto é, cuja distância ao centro seja menor que o raio estabelecido. A partir do texto e da imagem, identifique quais pontos estão estritamente no interior da circunferência de raio 5 unidades centrada na origem.
- A) Os pontos B e D
- B) Nenhum dos pontos
- C) Somente o ponto B
- D) Os pontos C e D
- E) Somente o ponto D
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- A circunferência tem centro na origem (0,0) e raio 5. Um ponto (x,y) está no interior, em sentido estrito, quando sua distância à origem é menor que 5, ou seja, quando x^2 + y^2 < 25. Usar o quadrado da distância evita a raiz quadrada.
- Calcule x^2 + y^2 para cada ponto.
- A(5,4): 25 + 16 = 41, que é maior que 25. Fica fora da circunferência.
- B(5,-2): 25 + 4 = 29, que é maior que 25. Fica fora (a abscissa 5 está sobre o limite, mas a ordenada torna a distância maior que o raio).
- C(-4,4): 16 + 16 = 32, que é maior que 25. Fica fora.
- D(-4,2): 16 + 4 = 20, que é menor que 25. Fica dentro.
- Apenas o ponto D satisfaz a condição de interior estrito, por isso a alternativa E é a correta.
- Por que as demais estão erradas:
- A) B não está no interior, pois 29 é maior que 25; o ponto D está correto, mas B não.
- B) D está no interior, pois 20 é menor que 25, então não é verdade que nenhum ponto está dentro.
- C) B tem distância sqrt(29), maior que 5, então ele fica fora da circunferência.
- D) C tem distância sqrt(32), maior que 5, então ele fica fora; só D está dentro.
💡 Dica: Calcule a distância de cada ponto à origem e compare com o raio 5.
Alternativa por alternativa
Considera que B(5,-2) está dentro porque sua abscissa é igual ao raio, sem somar o quadrado da ordenada à distância.
Por que engana: Confundir pontos na borda da circunferência como estando no interior ou erro no cálculo da distância.
Calcula a distância de D somando os módulos das coordenadas (4 + 2 = 6) em vez de usar a distância euclidiana, e conclui que D está fora.
Considera que B está no interior porque tem coordenada igual a 5 em x, ignorando a contribuição de y = -2 na distância ao centro.
Interpreta o interior do círculo como a região de um quadrado, verificando apenas se |x| < 5 e |y| < 5, e por isso inclui C, que tem distância maior que o raio.
Apenas D satisfaz 4^2 + 2^2 = 20 < 5^2 = 25; os demais pontos geram 5^2+4^2=41, 5^2+(-2)^2=29 e (-4)^2+4^2=32, todos maiores que 25.
Raio-X da questão
distância ponto origem circunferência
avaliacao
distância entre pontos no plano · equação da circunferência
estude cálculo de distância no plano cartesiano e propriedades da circunferência
Confundir pontos na borda da circunferência como estando no interior ou erro no cálculo da distância.
tomada_decisao
cotidiano
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