Por que algumas configurações de quatro pontos não formam um paralelogramo? Em Cartésiolândia, a prefeitura…

Questão

Por que algumas configurações de quatro pontos não formam um paralelogramo? Em Cartésiolândia, a prefeitura avaliou a instalação de novos semáforos em quatro esquinas que podem ser posicionadas segundo um sistema de coordenadas. Os locais estão representados pelos pontos A(-5,0), B(-4,5), C(2,2) e D(-4,-3) no plano cartesiano da imagem. Para verificar se esses semáforos definiriam os vértices de um paralelogramo, é necessário analisar as diagonais e comparar os pontos médios gerados por elas. Essas informações orientam o projeto e ajudam a evitar equívocos na geometria urbana. Analise as coordenadas dos pontos médios das diagonais AC e BD e conclua se o quadrilátero ABCD é um paralelogramo.

1. A) O quadrilátero ABCD não é um paralelogramo, pois os pontos médios de AC (-1,5;1) e BD (-4;1) são distintos
2. B) O quadrilátero ABCD é um paralelogramo, pois os vértices B e D têm a mesma abscissa
3. C) O quadrilátero ABCD é um paralelogramo, pois as diagonais AC e BD têm pontos médios com mesma ordenada y
4. D) O quadrilátero ABCD não é um paralelogramo, pois o produto dos coeficientes angulares de AB e BC não é igual a -1
5. E) O quadrilátero ABCD não é um paralelogramo, pois as projeções dos pontos A e C no eixo y são diferentes

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Um quadrilátero é paralelogramo quando suas diagonais se cortam ao meio, ou seja, quando os pontos médios das duas diagonais coincidem. Por isso, calculamos o ponto médio de cada diagonal. Passo 2: Diagonal AC, com A(-5,0) e C(2,2): x = (-5+2)/2 = -1,5 e y = (0+2)/2 = 1. Logo, o ponto médio de AC é (-1,5; 1). Passo 3: Diagonal BD, com B(-4,5) e D(-4,-3): x = (-4-4)/2 = -4 e y = (5-3)/2 = 1. Logo, o ponto médio de BD é (-4; 1). Passo 4: Os pontos médios são diferentes, pois a abscissa é -1,5 em AC e -4 em BD. As ordenadas coincidem, mas isso não basta, porque a condição exige que o ponto médio seja o mesmo. Como as diagonais não se cortam ao meio, ABCD não é paralelogramo, e a alternativa A está correta. Passo 5: Por que as outras estão erradas: na B, ter a mesma abscissa não garante paralelismo nem paralelogramo. Na C, a ordenada igual é apenas uma das duas coordenadas, e a condição exige coincidência do ponto inteiro. Na D, a perpendicularidade de lados consecutivos é critério de retângulo ou quadrado, não de paralelogramo, e o produto dos coeficientes de AB (5) e BC (-1/2) é -2,5. Na E, pontos de um paralelogramo não precisam ter a mesma projeção no eixo y, então esse não é um motivo válido para descartá-lo.

💡 Dica: Calcule os pontos médios das diagonais e compare-os para verificar se formam um paralelogramo.

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Raio-X da questão

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