No plano cartesiano, sejam os vértices do quadrilátero A(1,1), B(5,3), C(7,7) e D(3,5). a) Verifique, por…

Questão

No plano cartesiano, sejam os vértices do quadrilátero A(1,1), B(5,3), C(7,7) e D(3,5). a) Verifique, por cálculo dos pontos médios das diagonais, se elas se bissetam. b) Calcule as medidas das diagonais AC e BD e a área do quadrilátero, justificando cada passo.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Ponto médio de AC: ((1+7)/2,(1+7)/2)=(4,4). Ponto médio de BD: ((5+3)/2,(3+5)/2)=(4,4). Como os pontos médios coincidem, as diagonais AC e BD se bissetam. 2) Vetor AC = (7-1,7-1)=(6,6) ? |AC|=v(6²+6²)=v72=6v2. Vetor BD = (3-5,5-3)=(-2,2) ? |BD|=v((-2)²+2²)=v8=2v2. 3) Para a área do paralelogramo formado por A,B,C,D, calcule dois vetores adjacentes: AB=(4,2) e AD=(2,4). Determinante |AB×AD| = |4·4 - 2·2| = |16-4| = 12, que é a área. Conclusão: diagonais bissetam-se; |AC|=6v2, |BD|=2v2; área = 12. (Os cálculos usam somas, diferenças e operações com coordenadas sem aplicar fórmulas memorizadas sem justificativa.)

Explicação

Os pontos médios das diagonais são iguais, o que demonstra que elas se bissetam. O cálculo das medidas das diagonais foi realizado utilizando a distância entre os pontos, e a área foi obtida através do determinante dos vetores formados pelos vértices, o que é uma abordagem válida para determinar a área de um paralelogramo. Essa metodologia garante que todas as etapas do raciocínio matemático estejam justificadas e fundamentadas.

Raio-X da questão

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