Você já se perguntou como seu sinal de TV via satélite permanece fixo no céu enquanto a Terra gira? Para que…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Elaborar explicações, previsões e cálculos a respeito dos movimentos de objetos na Terra, no Sistema Solar e no Universo com base na análise das interações gravitacionais, com ou sem o uso de dispositivos e aplicativos digitais (como softwares de simulação e de realidade virtual, entre outros).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Você já se perguntou como seu sinal de TV via satélite permanece fixo no céu enquanto a Terra gira? Para que um satélite seja geostacionário, deve completar uma volta em torno da Terra no mesmo período de rotação do nosso planeta e mover-se sobre o equador. Os engenheiros consideram: massa da Terra M = 5,97×10^24 kg; constante gravitacional G = 6,7×10^-11 N·m^2/kg^2; raio da Terra R = 6,4×10^6 m; período de rotação terrestre T = 24 h. A partir dos dados do texto-base, calcule a altitude aproximada acima da superfície terrestre para que o satélite seja geostacionário.
- A) 2.3 x 10^7 m
- B) 1.2 x 10^8 m
- C) 3.6 x 10^7 m
- D) 7.0 x 10^6 m
- E) 4.2 x 10^7 m
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Na órbita geostacionária, a força gravitacional da Terra fornece a força centrípeta do movimento circular do satélite: G*M*m/r^2 = m*(4*pi^2*r)/T^2, em que r é o raio da órbita medido a partir do centro da Terra. Simplificando, r^3 = G*M*T^2/(4*pi^2). Passo 2: Converta o período para segundos: T = 24 h = 24 * 3600 s = 86400 s, portanto T^2 = 7,46 x 10^9 s^2. Passo 3: Calcule G*M = 6,7 x 10^-11 * 5,97 x 10^24 = aproximadamente 4,0 x 10^14 N*m^2/kg. Passo 4: Calcule o numerador: G*M*T^2 = 4,0 x 10^14 * 7,46 x 10^9 = aproximadamente 2,99 x 10^24. Divida por 4*pi^2 (aproximadamente 39,5): r^3 = aproximadamente 7,56 x 10^22 m^3. Passo 5: Extraia a raiz cúbica: r = aproximadamente 4,2 x 10^7 m. Esse é o raio da órbita, medido a partir do centro da Terra. Passo 6: A questão pede a altitude acima da superfície, então subtraia o raio terrestre: h = r - R = 4,2 x 10^7 m - 0,64 x 10^7 m = aproximadamente 3,6 x 10^7 m. Passo 7: A alternativa C corresponde a esse valor, o que confirma o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A (2,3 x 10^7 m) não corresponde a nenhum passo correto do cálculo; B (1,2 x 10^8 m) é ordem de grandeza muito maior que a obtida; D (7,0 x 10^6 m) é da ordem do próprio raio da Terra e não da altitude geostacionária; E (4,2 x 10^7 m) é o raio da órbita, e não a altitude, por isso não se deve esquecer de subtrair R.
💡 Dica: Use a fórmula do período orbital para satélites geostacionários e os dados fornecidos para calcular a altitude.
Alternativa por alternativa
Provavelmente o aluno fez alguma aproximação ou erro de cálculo na raiz cúbica ou na conversão de horas, chegando a um valor de altitude menor do que o correto. Não aplicou corretamente a fórmula de Kepler ao cálculo do raio.
Por que engana: Confundir o raio da órbita com a altitude ou esquecer de subtrair o raio da Terra para obter a altitude.
Provavelmente o aluno usou o período em unidades erradas (por exemplo, tratando horas como minutos ou misturando unidades) ou elevou o resultado a uma potência incorreta, obtendo um valor de ordem de grandeza muito maior.
Com T=86400 s, aplica-se T^2=4p^2r^3/(GM) para achar r˜4.23×10^7 m e subtrai R˜6.4×10^6 m, resultando ˜3.6×10^7 m.
Provavelmente o aluno confundiu a altitude com o próprio raio terrestre ou calculou apenas um valor da ordem de R, sem aplicar corretamente a condição de movimento circular com o período de 24 h.
O aluno calculou corretamente o raio da órbita (aproximadamente 4,2 x 10^7 m, medido a partir do centro da Terra), mas esqueceu de subtrair o raio terrestre para obter a altitude acima da superfície, como pede o enunciado.
Raio-X da questão
satélite geostacionário altitude cálculo
avaliacao
lei da gravitação universal · movimento circular uniforme
Estude a relação entre força gravitacional, período orbital e movimento circular.
Confundir o raio da órbita com a altitude ou esquecer de subtrair o raio da Terra para obter a altitude.
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pensamento_critico
cientifico
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