Determine a altitude h acima da superfície terrestre de uma órbita geoestacionária (satélite com período de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Elaborar explicações, previsões e cálculos a respeito dos movimentos de objetos na Terra, no Sistema Solar e no Universo com base na análise das interações gravitacionais, com ou sem o uso de dispositivos e aplicativos digitais (como softwares de simulação e de realidade virtual, entre outros).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Determine a altitude h acima da superfície terrestre de uma órbita geoestacionária (satélite com período de rotação igual ao da Terra, T = 24,0 h). Use a expressão T = 2p·v(r^3/(G·M)), com G = 6,67×10^-11 N·m^2/kg^2 e M = 5,97×10^24 kg. Considere o raio da Terra R = 6,37×10^6 m e calcule h = r - R em metros.
- A) h ˜ 3,0×10^7 m, com período de 12 horas.
- B) h ˜ 4,5×10^6 m acima da superfície.
- C) h ˜ 2,00×10^8 m acima da superfície.
- D) h ˜ 3,58×10^7 m (˜ 35 786 km) acima da superfície.
- E) h ˜ 1,96×10^7 m acima da superfície.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Interprete a expressão T = 2p·v(r^3/(G·M)) como T = 2π·√(r^3/(G·M)), que é a forma usual da 3ª lei de Kepler para órbitas circulares. Passo 2: Isole r. Elevando ao quadrado, T^2 = 4π^2·r^3/(G·M), logo r^3 = G·M·T^2/(4π^2). Passo 3: Converta o período para segundos: T = 24,0 h = 24 × 3600 = 86 400 s, e T^2 = 7,465×10^9 s^2. Passo 4: Calcule G·M = 6,67×10^-11 × 5,97×10^24 = 3,982×10^14 m^3/s^2. Passo 5: Então r^3 = (3,982×10^14 × 7,465×10^9)/(39,478) ≈ 7,53×10^22 m^3. Passo 6: Extraia a raiz cúbica: r ≈ 4,22×10^7 m. Passo 7: Subtraia o raio da Terra: h = r − R = 4,22×10^7 − 0,637×10^7 ≈ 3,59×10^7 m, que corresponde a cerca de 35 800 km, em concordância com a alternativa D (3,58×10^7 m). Passo 8: Por que as outras estão erradas: A usa um período de 12 horas, que não é o da órbita geoestacionária; B tem a ordem de grandeza de um satélite de órbita baixa, muito menor que o necessário; C é grande demais, como se o valor de r tivesse sido mal calculado; E é um valor intermediário que não corresponde a nenhum passo correto do cálculo. O gabarito D está correto.
💡 Dica: Utilize a fórmula dada para calcular a altitude do satélite.
Alternativa por alternativa
O aluno associa a órbita geoestacionária a um período de 12 horas, confundindo-o com o de meio dia, e ainda apresenta esse dado como se fosse parte da resposta.
O aluno provavelmente toma o valor de r ou de h sem aplicar corretamente a expressão de Kepler, obtendo uma altitude típica de órbita baixa, que não respeita o período de 24 horas.
Por que engana: Confundir a relação entre período e altura, calculando a altura de forma incorreta ao não considerar a relação entre a gravidade e a distância do centro da Terra.
O aluno erra o cálculo da raiz cúbica ou a ordem de grandeza ao extrair r de r^3, o que leva a um valor cerca de cinco vezes maior que o correto.
Invertendo T: r = [G·M·T^2/(4p^2)]^(1/3). Com T = 86400 s, obtém-se r ˜ 4,2164×10^7 m; então h = r - R = 4,2164×10^7 - 6,37×10^6 ˜ 3,5786×10^7 m.
O aluno pode ter usado um valor aproximado ou esquecido de converter o período para segundos, ou subtraído o raio da Terra de forma incorreta, chegando a uma altitude próxima mas errada.
Raio-X da questão
órbita geoestacionária
avaliacao
cálculo de órbitas · lei da gravitação universal
Revisar a lei da gravitação universal e o movimento circular.
Confundir a relação entre período e altura, calculando a altura de forma incorreta ao não considerar a relação entre a gravidade e a distância do centro da Terra.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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