— Ana, observe como o pedágio na estrada antiga aumentou nos últimos dias: no primeiro dia era 2 reais, no…

Questão

— Ana, observe como o pedágio na estrada antiga aumentou nos últimos dias: no primeiro dia era 2 reais, no segundo 5 reais, no terceiro 8 reais e assim por diante, comentou Bruno. Ele apresentou a expressão A(n)=3n-1 para o valor do pedágio no n-ésimo dia. Ana sugeriu B(n)=3(n-1)+2 como alternativa para a mesma sequência. Eles querem saber se essas duas fórmulas descrevem exatamente o mesmo padrão de aumento do valor do pedágio ao longo dos dias. Analise o texto-base e identifique se as expressões A(n)=3n-1 e B(n)=3(n-1)+2 são equivalentes para descrever o padrão de pedágio. Qual conclusão é correta?

1. A) As expressões são equivalentes somente para n>=2
2. B) As expressões são equivalentes pois produzem os mesmos valores nos três primeiros dias
3. C) As expressões não são equivalentes pois 3(n-1)+2 = 3n+1
4. D) As expressões são equivalentes pois ambas simplificam para 3n-1
5. E) As expressões não são equivalentes pois uma gera um termo a mais

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Verifique a fórmula de Bruno. Para n=1, A(1)=3(1)-1=2; para n=2, A(2)=5; para n=3, A(3)=8. Esses valores batem com o enunciado (2, 5 e 8 reais). Passo 2: Desenvolva a fórmula de Ana. B(n)=3(n-1)+2 = 3n-3+2 = 3n-1. Passo 3: Como B(n) é igual a 3n-1 para todo n, as duas expressões são algebricamente idênticas, ou seja, produzem exatamente os mesmos valores para qualquer dia n, e não apenas nos três primeiros. Passo 4: Logo a alternativa D está correta, pois ambas simplificam para 3n-1. Passo 5: Por que as outras estão erradas: A está errada porque a equivalência vale para todo n natural, inclusive n=1, e não só a partir de n=2. B chega à conclusão certa (são equivalentes), mas com justificativa insuficiente, pois coincidir em três valores não prova equivalência; a prova vem da simplificação algébrica. C está errada porque 3(n-1)+2 é igual a 3n-1, e não a 3n+1. E está errada porque as duas fórmulas geram exatamente um valor por dia, sem diferença de quantidade de termos. Conclusão: o gabarito D está correto.

💡 Dica: Simplifique as expressões e compare os termos para verificar equivalência.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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