Folhas verdes e gramíneas formam um vale estreito ao longo de um rio de corrente suave. Um agricultor deseja…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Folhas verdes e gramíneas formam um vale estreito ao longo de um rio de corrente suave. Um agricultor deseja cercar um terreno retangular junto à margem, usando a cerca em apenas três lados: dois lados perpendiculares à água e o lado oposto à margem. Com 100 metros de cerca disponíveis, ele planeja maximizar a área dedicada ao plantio. Analise o texto-base e determine as dimensões do terreno que resultam em área máxima.
- A) 12,5 m de profundidade e 75 m de comprimento
- B) 25 m de profundidade e 50 m de comprimento
- C) 20 m de profundidade e 60 m de comprimento
- D) 30 m de profundidade e 40 m de comprimento
- E) 50 m de profundidade e 0 m de comprimento
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Chame de x a profundidade do terreno, ou seja, o comprimento de cada um dos dois lados perpendiculares à água, e de L o comprimento do lado oposto à margem.
- A cerca tem 100 m e é usada em apenas três lados, então 2x + L = 100, o que dá L = 100 - 2x.
- A área do retângulo é A = x * L = x * (100 - 2x) = 100x - 2x^2.
- Esta é uma parábola com concavidade para baixo, cujo vértice dá o ponto de área máxima. Pelo cálculo, a derivada é 100 - 4x, que se anula quando x = 25. Também é possível chegar a x = 25 observando que o vértice fica no ponto médio das raízes x = 0 e x = 50.
- Com x = 25, L = 100 - 50 = 50 m, e a área máxima é 25 * 50 = 1250 m^2. Logo, a profundidade é 25 m e o comprimento é 50 m, que é a alternativa B, igual ao gabarito oficial.
- Conferência das outras alternativas. A: 12,5 e 75 dão 2 * 12,5 + 75 = 100 m de cerca, mas área 937,5 m^2, menor que 1250. C: 20 e 60 dão área 1200 m^2, menor que 1250. D: 30 e 40 dão área 1200 m^2, também menor. E: 50 e 0 dão área zero, pois não há terreno de fato.
💡 Dica: Use a fórmula da área e a restrição do perímetro para montar uma função e encontrar o máximo.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente aplicou uma proporção arbitrária, como usar três quartos da cerca no lado oposto, sem montar a função da área e sem verificar o ponto de máximo.
Por que engana: Escolher dimensões que não respeitam a restrição do perímetro ou não maximizam a área.
A função A(x)=x(100-2x) tem vértice em x=100/4=25, e o lado junto à margem é 100-2·25=50 m.
O aluno acredita que a área máxima ocorre quando o lado paralelo à margem é três vezes a profundidade, uma regra sem fundamento que não vem da análise da função área.
O aluno respeitou a restrição da cerca (2 * 30 + 40 = 100), mas não encontrou o vértice da parábola e escolheu uma configuração próxima do ótimo por estimativa, sem comparar as áreas (1200 contra 1250).
O aluno pensa que, quanto mais profundo o terreno, melhor, e concentra toda a cerca nos dois lados perpendiculares, esquecendo que o lado oposto desaparece e a área vira zero.
Raio-X da questão
maximização de área, função quadrática
avaliacao
função quadrática e otimização · equações lineares e perímetro
estude funções quadráticas e otimização com restrições lineares
Escolher dimensões que não respeitam a restrição do perímetro ou não maximizam a área.
pensamento_critico
cotidiano
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