Visitei uma praça histórica em uma pequena cidade, onde os pisos de azulejos formam padrões de quadriláteros…

Questão

Visitei uma praça histórica em uma pequena cidade, onde os pisos de azulejos formam padrões de quadriláteros. Em um dos painéis há o quadrilátero ABCD, cuja diagonal AC divide a figura em dois triângulos, ABC e CDA. Medições indicam AB = CD = 5 cm, BC = DA = 7 cm e que o ângulo em A é comum aos dois triângulos. A organização do desenho sugere que esses triângulos sejam congruentes, fornecendo pistas sobre as características do quadrilátero. Crie uma justificativa, a partir da congruência dos triângulos ABC e CDA descritos no texto-base, que prove uma propriedade de ABCD.

1. A) Triângulos ABC e CDA são congruentes por Lado-Lado-Lado, logo os lados adjacentes de ABCD são congruentes.
2. B) Triângulos ABC e CDA são congruentes por Lado-Lado-Lado, logo AB || CD e BC || DA, caracterizando um paralelogramo.
3. C) Triângulos ABC e CDA são congruentes por Ângulo-Lado-Ângulo, logo os ângulos internos de ABCD são iguais dois a dois.
4. D) Triângulos ABC e CDA são congruentes por Lado-Lado-Lado, logo as diagonais de ABCD são perpendiculares.
5. E) Triângulos ABC e CDA são congruentes por Lado-Lado-Lado, logo a soma dos ângulos internos de ABCD é 360 graus.

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Identifique os dados dos triângulos. No triângulo ABC, os lados são AB = 5 cm, BC = 7 cm e o lado comum AC. No triângulo CDA, os lados são CD = 5 cm, DA = 7 cm e o mesmo lado AC. Observação: o texto diz que o ângulo em A é comum aos dois triângulos, mas o que realmente é comum é o lado AC; o ângulo BAC e o ângulo CAD são diferentes. Essa imprecisão não atrapalha, porque a congruência pode ser provada só com os lados. Passo 2: Verifique o critério de congruência. Como os três lados de ABC são iguais aos três lados correspondentes de CDA (AB = CD, BC = DA, AC = CA), vale o caso Lado-Lado-Lado, e ABC é congruente a CDA. Passo 3: Extraia os ângulos correspondentes. Da congruência, o ângulo BAC (em A, no triângulo ABC) é igual ao ângulo DCA (em C, no triângulo CDA), e o ângulo BCA é igual ao ângulo DAC. Passo 4: Use a transversal AC. Os ângulos BAC e DCA são alternos internos formados pelas retas AB e CD com a transversal AC; como são iguais, AB é paralela a CD. Analogamente, BCA e DAC são alternos internos com a transversal AC, logo BC é paralela a DA. Passo 5: Conclua. Um quadrilátero com dois pares de lados opostos paralelos é um paralelogramo, logo ABCD é um paralelogramo. Por que as outras estão erradas: A) a congruência dá lados opostos iguais, não adjacentes, e 5 e 7 cm já mostram que os lados adjacentes não são iguais; B) está correta, pois é exatamente o que a congruência LLL implica; C) o critério usado é LLL, não ALA, e a congruência não garante que todos os ângulos internos sejam iguais dois a dois; D) perpendicularidade das diagonais é característica do losango, e a congruência não a fornece; E) a soma 360 graus vale para qualquer quadrilátero convexo, não sendo consequência da congruência.

💡 Dica: Use a congruência dos triângulos para justificar propriedades do quadrilátero.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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