— Queremos cercar dois viveiros retangulares adjacentes usando 48 metros de tela, sugeriu Marina. Cada viveiro…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar pontos de máximo ou de mínimo de funções quadráticas em contextos envolvendo superfícies, Matemática Financeira ou Cinemática, entre outros, com apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
— Queremos cercar dois viveiros retangulares adjacentes usando 48 metros de tela, sugeriu Marina. Cada viveiro tem largura w e comprimento l, com um lado comum de divisão entre eles. Paulo lembrou que o total de tela é 48 m, incluindo a cerca interna entre viveiros. Para expressar a área total A em func¸a~o de w, ele substituiu l = (48 - 3w)/2, obtendo A(w) = 48w - 3w^2. Analise o texto-base e determine o valor de w que maximiza a área total dos dois viveiros.
- A) 8 m
- B) 6 m
- C) 16 m
- D) 24 m
- E) 12 m
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Use o modelo do texto-base, em que a área total é A(w) = 48w - 3w^2, obtida de A = 2wl com l = (48 - 3w)/2. Passo 2: Para achar o máximo de uma função quadrática com coeficiente de w^2 negativo (-3), derive: A'(w) = 48 - 6w. Passo 3: Iguale a zero: 48 - 6w = 0, logo w = 8 m. Passo 4: Confira que w = 8 é ponto de máximo, pois a parábola tem concavidade para baixo. Passo 5: Verificação: l = (48 - 24)/2 = 12 m e A = 2 x 8 x 12 = 192 m^2; por substituição em A(w), 48 x 8 - 3 x 64 = 384 - 192 = 192, o que confirma o resultado. Passo 6: Por que as outras estão erradas: 6 m dá área menor (A(6) = 144); 16 m é a outra raiz de A(w) = 0, onde a área é nula; 24 m torna l = 0, sem viveiro; 12 m é o valor de l, não de w. Conclusão: o gabarito oficial A (8 m) está correto e coincide com a resolução feita a partir do modelo dado no enunciado.
💡 Dica: Use derivada ou análise de função quadrática para encontrar o máximo da área.
Alternativa por alternativa
Resolvendo dA/dw = 48 - 6w = 0 dá w = 8 m, que maximiza a área (vértice da parábola).
O aluno derivou corretamente ou quase, mas errou a resolução de 48 - 6w = 0, tomando w = 48/8 = 6 ou ignorando o coeficiente 6 da derivada.
Por que engana: Confundir o papel dos lados w e l ou não considerar a cerca interna na expressão da função área.
O aluno confundiu o ponto de máximo com a raiz de A(w) = 0 (48w - 3w^2 = 0 gera w = 0 ou w = 16), ou calculou -b/a usando o coeficiente 3 em vez de 6.
O aluno supôs que o máximo ocorre na metade da tela (w = 48/2 = 24), ou não percebeu que w = 24 zera o comprimento l = (48 - 72)/2 negativo e portanto é inviável.
O aluno leu mal a pergunta e marcou o comprimento l = (48 - 24)/2 = 12 m, calculado para w = 8, em vez de informar o valor de w que maximiza a área.
Raio-X da questão
função quadrática e maximização
avaliacao
função quadrática · noções de derivada
estude funções quadráticas e cálculo de máximos
Confundir o papel dos lados w e l ou não considerar a cerca interna na expressão da função área.
pensamento_critico
cotidiano
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