Pesquisa recente com empresas de transporte rodoviário apresenta dados ilustrativos sobre a relação entre o…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Pesquisa recente com empresas de transporte rodoviário apresenta dados ilustrativos sobre a relação entre o preço da passagem e o número de passageiros em uma linha intermunicipal de ônibus. Segundo o levantamento, a disposição média a pagar por passageiro, em reais, é dada pela função p(x)=180-0.6x, em que x representa o número de passageiros por viagem. A receita total da empresa numa viagem é R(x)=x·p(x). Analise o texto-base e determine o número de passageiros que maximiza a receita dessa linha de ônibus.
- A) 150 passageiros
- B) 300 passageiros
- C) 90 passageiros
- D) 75 passageiros
- E) 100 passageiros
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Montar a receita. R(x) = x·p(x) = x·(180 - 0,6x) = 180x - 0,6x^2. Trata-se de uma função quadrática com coeficiente de x^2 igual a -0,6 (negativo), logo a parábola tem concavidade para baixo e possui um ponto de máximo.
- Encontrar o vértice. Para uma função ax^2 + bx + c, o x do vértice é -b/(2a). Aqui a = -0,6 e b = 180, então x = -180/(2·(-0,6)) = -180/(-1,2) = 150.
- Conferir pelo sentido econômico. Com 150 passageiros, o preço por passageiro é p(150) = 180 - 0,6·150 = 180 - 90 = 90 reais, e a receita é 150·90 = 13.500 reais. Com 140 passageiros, p = 96 e R = 13.440; com 160, p = 84 e R = 13.440. Os valores vizinhos são menores, o que confirma o máximo em x = 150.
- Conclusão. O número de passageiros que maximiza a receita é 150, alternativa A, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras alternativas estão erradas. B (300) é o valor de x que zera o preço, pois 180 - 0,6x = 0 resulta em x = 300, e nesse ponto a receita é nula, não máxima. C (90) corresponde ao preço por passageiro com 150 passageiros, não à quantidade ótima. D (75) é a metade do vértice e surge de um erro de cálculo ao dividir por um denominador indevidamente dobrado. E (100) não é o vértice, pois a receita em 100 passageiros é 100·120 = 12.000 reais, inferior a 13.500 reais obtidos com 150.
💡 Dica: Use a função receita e derive para encontrar o máximo.
Alternativa por alternativa
O máximo ocorre no vértice da parábola R(x)=-0.6x^2+180x em x=-b/(2a)=-180/(2·-0.6)=150.
O aluno provavelmente encontrou o x que anula o preço (180 - 0,6x = 0, x = 300) e tomou esse valor como ponto de máximo da receita, sem perceber que a receita é zero ali.
Por que engana: Confundir a função receita com a função preço e não derivar para encontrar o máximo.
O aluno calculou o preço por passageiro correspondente ao ótimo (90 reais) ou dividiu 180 por 2 ignorando o coeficiente 0,6, confundindo o preço com a quantidade de passageiros.
O aluno aplicou a fórmula do vértice dobrando indevidamente o coeficiente (2·1,2 = 2,4 no denominador), obtendo 180/2,4 = 75, ou dividiu o resultado correto por 2 sem justificativa.
O aluno pode ter resolvido p(x) = 60 (60/0,6 = 100) ou arredondado um cálculo mal feito, tratando um valor aleatório de preço como se fosse o ponto de máximo da receita, sem verificar que R(100) é menor que R(150).
Raio-X da questão
maximização de receita
avaliacao
função do 1º grau · função do 2º grau
estude funções quadráticas e derivadas para maximização
Confundir a função receita com a função preço e não derivar para encontrar o máximo.
pensamento_critico
cotidiano
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