Dados de uma plataforma de leitura digital apontam que, para cada valor do preço mensal p (em reais), o número…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar pontos de máximo ou de mínimo de funções quadráticas em contextos envolvendo superfícies, Matemática Financeira ou Cinemática, entre outros, com apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Dados de uma plataforma de leitura digital apontam que, para cada valor do preço mensal p (em reais), o número de assinaturas é dado por 120 - p. A receita mensal R(p) (em reais) é obtida multiplicando o preço pelo número de assinaturas: R(p)=p·(120 - p). A empresa busca o valor de p que maximize sua receita mensal. Analise o texto-base e identifique o preço mensal p que maximiza a receita R(p).
- A) 0 reais
- B) 90 reais
- C) 30 reais
- D) 60 reais
- E) 120 reais
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- A receita é R(p) = p·(120 - p) = 120p - p^2, uma função quadrática com coeficiente a = -1 (negativo), cujo gráfico é uma parábola com concavidade para baixo. Por isso ela possui um ponto de máximo, que é o vértice da parábola.
- A abscissa do vértice é p = -b/(2a). Aqui b = 120 e a = -1, então p = -120/(2·(-1)) = -120/(-2) = 60 reais.
- Conferindo, R(60) = 60·(120 - 60) = 60·60 = 3600 reais. Para p = 59 ou p = 61, a receita é 59·61 = 3599, menor que 3600, o que confirma que 60 reais é o máximo.
- Por que as outras alternativas estão erradas: a alternativa A (0 reais) dá receita nula, o pior caso possível; a alternativa B (90 reais) resulta em R = 90·30 = 2700, menor que 3600; a alternativa C (30 reais) resulta em R = 30·90 = 2700, também menor; a alternativa E (120 reais) zera o número de assinaturas e a receita, R = 0.
- Conclusão: o preço que maximiza a receita mensal é 60 reais, alternativa D, coincidindo com o gabarito oficial.
💡 Dica: Use a função receita e derive para encontrar o máximo.
Alternativa por alternativa
Confunde o ponto de receita nula ou o limite inferior do preço com o ponto de maior receita, supondo que cobrar nada seria o melhor caso.
Erra o cálculo do vértice, obtendo 90 em vez de 60, provavelmente por um erro na fração ou no sinal ao aplicar p = -b/(2a).
Por que engana: Escolher valores extremos sem calcular o ponto de máximo da função.
Aplica a fórmula errada, dividindo por 4a em vez de 2a (p = -b/(4a) = 30), ou seja, confunde a fórmula da abscissa do vértice com outra expressão.
Para R(p)=p(120-p)= -p^2+120p, o vértice é em p= -b/(2a)= -120/(2·-1)=60 reais.
Lê o valor 120 do enunciado, que é a constante do número de assinaturas, como se fosse o preço ótimo, sem perceber que nesse preço a receita é zero.
Raio-X da questão
maximização de função quadrática
avaliacao
função quadrática · derivada de função
Estude funções quadráticas e derivadas para maximização.
Escolher valores extremos sem calcular o ponto de máximo da função.
tomada_decisao
abstrato
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