Trecho de relatório: Para documentar um padrão geométrico encontrado em um sítio arqueológico, pesquisadores…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Utilizar as noções de transformações isométricas (translação, reflexão, rotação e composições destas) e transformações homotéticas para construir figuras e analisar elementos da natureza e diferentes produções humanas (fractais, construções civis, obras de arte, entre outras).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Trecho de relatório: Para documentar um padrão geométrico encontrado em um sítio arqueológico, pesquisadores modelaram um quadrado original de centro no ponto C(1,2) em um sistema cartesiano. Aplicaram em sequência: translação pelo vetor v = (4, –1), rotação de 180 graus em torno da origem e homotetia de razão 3 com centro na origem. O objetivo é determinar a posição final do centro do quadrado após essas transformações. Analise o texto-base e determine as coordenadas do ponto que representa o centro do quadrado após a sequência de transformações.
- A) 15, 3
- B) -9, -6
- C) -3, -15
- D) -15, -3
- E) 15, -3
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Identifique o centro original C(1,2). Ele é o ponto que se transforma, pois o quadrado inteiro é levado pelas mesmas transformações e basta acompanhar o centro.
- Aplique a translação pelo vetor v = (4, -1), somando às coordenadas: (1+4, 2-1) = (5, 1).
- Aplique a rotação de 180 graus em torno da origem. Nessa rotação, cada coordenada troca de sinal: (x, y) vira (-x, -y). Assim, (5, 1) vira (-5, -1).
- Aplique a homotetia de razão 3 com centro na origem, multiplicando as coordenadas por 3: (-5·3, -1·3) = (-15, -3).
- Conclusão: o centro final é (-15, -3), que corresponde à alternativa D. O gabarito oficial está correto.
- Por que as outras estão erradas: a alternativa A ignora o sinal da rotação; a B tem valores que não resultam de nenhuma ordem correta das operações; a C troca a abscissa pela ordenada no resultado final; a E trata a rotação de 180 graus como se fosse uma reflexão em relação ao eixo x, mudando só o sinal de y.
💡 Dica: Aplique as transformações na ordem dada, calculando as novas coordenadas passo a passo.
Alternativa por alternativa
Provavelmente considerou que a rotação de 180 graus em torno da origem não altera o ponto, ou simplesmente a ignorou. Assim, aplicou só a translação e a homotetia: (5, 1) multiplicado por 3 dá (15, 3).
Provavelmente errou o cálculo da translação, por exemplo subtraindo o vetor em vez de somá-lo, e depois aplicou a rotação e a homotetia de forma inconsistente. O resultado (-9, -6) não corresponde a nenhuma sequência correta das três transformações.
Chegou a (-15, -3) e depois trocou abscissa e ordenada na resposta final, escrevendo (-3, -15). Ou seja, a escolha de valores está correta, mas a ordem das coordenadas foi invertida.
Translação C(1,2)->(5,1), rotação 180°->(-5,-1), homotetia escala 3->(-15,-3).
Confundiu a rotação de 180 graus com uma reflexão em relação ao eixo x, mudando apenas o sinal da ordenada. Com isso obteve (5, -1) e depois (15, -3) após a homotetia.
Por que engana: Erro comum é aplicar as transformações fora da ordem correta ou esquecer de multiplicar as coordenadas na homotetia.
Raio-X da questão
transformacoes geometricas coordenadas
avaliacao
coordenadas no plano cartesiano · operacoes com vetores
estude translação, rotacao e homotetia em geometria analitica
Erro comum é aplicar as transformações fora da ordem correta ou esquecer de multiplicar as coordenadas na homotetia.
pensamento_critico
abstrato
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